Точечный источник света \(S\) находится на расстоянии \(d = 15\) см от зеркала AB (см. рисунок). Зеркало вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через основание перпендикуляра, опущенного из источника на зеркало (через точку O). Найти мгновенную скорость и мгновенное ускорение изображения источника в зеркале в тот момент, когда зеркало повернулось на угол \(\alpha = 30^\circ\) по сравнению с первоначальным положением.

\(v' = 2\omega d\), \(a' = 4\omega^2 d\) (не зависят от угла поворота), где \(\omega\) — угловая скорость зеркала. Официальное значение \(a' = 0{,}6\) м/с\(^2\) соответствует \(\omega = 1\) с\(^{-1}\).

Изображение во вращающемся зеркале — Росатом 2017/18, 11 кл., задача 3

Изображение во вращающемся зеркале
Росатом 2017/18, 11 кл.
6/10
Точечный источник света \(S\) находится на расстоянии \(d = 15\) см от зеркала AB (см. рисунок). Зеркало вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через основание перпендикуляра, опущенного из источника на зеркало (через точку O). Найти мгновенную скорость и мгновенное ускорение изображения источника в зеркале в тот момент, когда зеркало повернулось на угол \(\alpha = 30^\circ\) по сравнению с первоначальным положением.

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Докажите, что изображение движется по окружности, для которой отрезок между старым и новым изображением является диаметром; найдите угловую скорость изображения через угловую скорость зеркала.
Ответ
\(v' = 2\omega d\), \(a' = 4\omega^2 d\) (не зависят от угла поворота), где \(\omega\) — угловая скорость зеркала. Официальное значение \(a' = 0{,}6\) м/с\(^2\) соответствует \(\omega = 1\) с\(^{-1}\).
Решение
Определим характер движения изображения. Построение старого (\(S'\)) и нового (\(S''\); после поворота зеркала на угол \(\alpha\)) изображений источника выполнено на рисунке. Треугольники \(SOO'\) и \(SS''S'\) подобны, так как у них общий угол \(\alpha\), а стороны, примыкающие к этому углу, пропорциональны: \[\frac{SS''}{SO} = \frac{SS'}{SO'} = 2.\] Так как угол \(SO'O\) прямой, то прямым является и угол \(SS''S'\) независимо от угла поворота зеркала. Значит, изображение источника движется по окружности, для которой отрезок \(SS'\) является диаметром, радиус которой равен \(R = SO = d\).

Угловая скорость вращения изображения: при повороте зеркала на угол \(\alpha\) изображение поворачивается на угол \(2\alpha\) относительно точки \(O\), поэтому изображение вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega' = 2\omega\), вдвое большей угловой скорости зеркала. Скорость изображения \(v' = \omega' R = 2\omega d\). Ускорение изображения центростремительное, его величина постоянна (не зависит от угла \(\alpha\)): \[a' = (2\omega)^2 R = 4\omega^2 d.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Изображение во вращающемся зеркале

Изображение во вращающемся зеркале

Похожие задачи