Осколки гранаты

Сравните время падения осколка, вылетевшего вертикально вниз, с временем падения осколка, вылетевшего вертикально вверх.

Граната поднимается на высоту \[h = \frac{v_0^2}{2g}.\] В этот момент времени граната взрывается и осколки разлетаются во все стороны с одинаковыми скоростями. Пусть скорости осколков сразу после взрыва равны \(v\). Тогда, очевидно, осколки будут падать на землю в течение времени \[\Delta t = \frac{2v}{g}. \qquad (*)\] Действительно, первым на землю упадет осколок, летящий после взрыва вертикально вниз, последним — вертикально вверх. А поскольку последний вернется в точку взрыва через время \((*)\) после взрыва, а затем в точности повторит движение первого, то время \((*)\) и будет интервалом между падениями на землю последнего и первого. Из формулы \((*)\) находим скорость осколков сразу после взрыва: \[v = \frac{g\,\Delta t}{2}.\] Чтобы найти время падения на землю первого осколка, применим к нему закон равноускоренного движения: \[h = vt + \frac{gt^2}{2}, \qquad (**)\] где \(t\) — время падения на землю первого осколка. Решая квадратное уравнение \((**)\), находим \[t = \sqrt{\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 + \left(\frac{\Delta t}{2}\right)^2} - \frac{\Delta t}{2}.\]