Опрокидывание клина

Если тело покоится на наклонной грани, какая сила действует на клин со стороны тела? Сравните коэффициент трения с \(\operatorname{tg}\alpha\).

Если коэффициент трения таков, что тело покоится на наклонной грани клина (\(k > \operatorname{tg}\alpha\)), то клин не может опрокинуться. Действительно, в этом случае сила, действующая на тело со стороны клина, направлена вертикально вверх и равна по величине силе тяжести тела (тело покоится!). Поэтому сила, действующая на клин со стороны тела, направлена вертикально вниз и не может опрокинуть прямоугольный клин.

Если же тело движется с ускорением, направленным вниз вдоль плоскости, то ситуация другая. В этом случае нормальная компонента силы реакции плоскости равна \(mg\cos\alpha\), а компонента силы реакции, направленная вдоль плоскости (сила трения), меньше, чем \(mg\sin\alpha\). А это значит, что суммарная сила, действующая на тело со стороны клина, направлена левее вертикали, а на клин со стороны тела — правее. Следовательно, эта сила может опрокинуть клин.

Найдем «границу» опрокидывания клина через вершину прямого угла. В момент опрокидывания сила реакции будет сосредоточена в вершине, поэтому для опрокидывания клина момент суммарной силы, действующей на клин со стороны тела (сила реакции + трения), должен стать больше момента силы тяжести (относительно вершины прямого угла). Пусть ширина нижней грани клина равна \(a\). Тогда момент силы тяжести относительно вершины прямого угла равен \[M_{mg} = \frac{1}{3}Mga.\] Момент суммарной силы, действующей на клин со стороны тела, можно вычислить отдельно для сил реакции и трения, а затем сложить. Имеем \[M_{тр} = kmg\cos\alpha\cdot a\sin\alpha,\] где \(a\sin\alpha\) — плечо силы трения относительно вершины прямого угла. Аналогично для момента силы реакции имеем \[M_{реак} = -mg\cos\alpha\cdot a\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = -mga\sin^2\alpha,\] где \(a\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\) — плечо силы реакции относительно вершины прямого угла (знак «\(-\)» потому, что сила реакции «вращает» клин по часовой стрелке относительно вершины прямого угла). Отсюда заключаем, что клин перевернется, если \[mga\sin^2\alpha \ge kmga\sin\alpha\cos\alpha + \frac{1}{3}Mga,\] или \[m \ge \frac{M}{3\sin\alpha\left(\sin\alpha - k\cos\alpha\right)}.\]