Кубик на пружине в жидкости

Запишите условие плавания кубика до и после долива, учитывая, что пружина растягивается, и выразите площадь основания кубика через изменение его погружения.

Обозначим начальное погружение кубика \(h\), площадь его основания \(S\), массу \(m\). В состоянии равновесия пружина не растянута: \(\rho gSh=mg\). Объем жидкости в сосуде до долива \(V_0=h(S_0-S)+x_0S_0\), где \(x_0\) — длина недеформированной пружины, \(S_0\) — площадь основания сосуда.

После долива объем \(V\) жидкости и растяжение \(\Delta x\) пружины, погружение кубика увеличилось на \(\Delta h\). Равновесие: \(\rho gS(h+\Delta h)=mg+k\Delta x\), откуда \(\rho gS\Delta h=k\Delta x\), то есть \(S=\dfrac{k\Delta x}{\rho g\Delta h}\).

Объем жидкости после долива: \(V_0+V=(h+\Delta h)(S_0-S)+(x_0+\Delta x)S_0\). Приравнивая, получаем \(\Delta h(S_0-S)+\Delta xS_0=V\). Подставляя \(S\): \[\Delta h\,S_0-\frac{k\Delta x}{\rho g}+\Delta x\,S_0=V, \qquad\text{откуда}\qquad \Delta h=\frac{V+\dfrac{k\Delta x}{\rho g}}{S_0}-\Delta x.\]