Три сосуда с жидкостями и краны

Пишите условие равновесия давлений в соединённых сосудах на уровне дна трубки для каждого шага отдельно: сначала при открытом кране \(k_1\), затем при открытом кране \(k_2\).

Пусть при открытии крана \(k_1\) жидкость из левого сосуда образовала у дна центрального сосуда слой толщиной \(a\). Условие равновесия: \[(h_1-a)\rho_1=h_2\rho_2+a\rho_1\quad\Rightarrow\quad a=\frac{h_1\rho_1-h_2\rho_2}{2\rho_1}.\] Затем открыт кран \(k_2\), и из центрального сосуда в правый затекает только жидкость плотности \(\rho_1\) толщиной \(b\) под жидкостью \(\rho_3\). Условие равновесия: \[h_2\rho_2+(a-b)\rho_1=h_3\rho_3+b\rho_1\quad\Rightarrow\quad b=\frac{a\rho_1+h_2\rho_2-h_3\rho_3}{2\rho_1}.\] По условию \(h_1-a=p(a-b)\) и \(h_1-a=q\,b\), где \(p=2\) и \(q=4\) (кратности из условия). Исключая \(a\) и \(b\) через плотности, получаем систему \[2(h_1\rho_1+h_2\rho_2)=p\,(h_1\rho_1-3h_2\rho_2+2h_3\rho_3), \qquad 2(h_1\rho_1+h_2\rho_2)=q\,(h_1\rho_1+h_2\rho_2-2h_3\rho_3).\] Подставляя \(h_1=14\), \(h_2=12\), \(h_3=30\) см и \(p=2\), \(q=4\): \(48\rho_2=60\rho_3\), откуда \(\dfrac{\rho_2}{\rho_3}=\dfrac54\); и \(14\rho_1+12\rho_2=120\rho_3=96\rho_2\), откуда \(\rho_1=6\rho_2\). Значит, \(\rho_1:\rho_2:\rho_3=6:1:\dfrac45=30:5:4\).