Медведь, Волк и Заяц

Запишите время, за которое заяц догонит медведя, через скорости и расстояние \(S\). Какое расстояние за это время пройдут медведь и волк? Затем сделайте то же для момента, когда заяц догонит волка.

Ясно, что для скоростей Медведя, Волка и Зайца выполнены условия \(v_{\text{З}} > v_{\text{В}} > v_{\text{М}}\). Получим соотношение для этих скоростей из первого условия задачи (момента, когда Заяц догнал Медведя). Очевидно, что Заяц догонит Медведя через время \[t = \frac{S}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}}.\] За это время Медведь и Волк пройдут расстояния \(\dfrac{S v_{\text{М}}}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}}\) и \(\dfrac{S v_{\text{В}}}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}}\) соответственно. Поэтому Медведь (и Заяц, который находится в той же точке) будет позади Волка на расстоянии \[\frac{S\,(v_{\text{В}} - v_{\text{М}})}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}},\] которое по условию равно \(S/2\). Поэтому \[\frac{v_{\text{В}} - v_{\text{М}}}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}} = \frac{1}{2}.\] Заяц догонит Волка через время \[t_2 = \frac{S/2}{v_{\text{З}} - v_{\text{В}}},\] пройдя расстояние \(\dfrac{S v_{\text{З}}}{2(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}\). Медведь за это время пройдёт расстояние \(\dfrac{S v_{\text{М}}}{2(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}\). Поэтому Медведь окажется позади Зайца (и Волка, который находится в той же точке) на расстоянии \[\Delta = \frac{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})}{2\,(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}.\] Выразим эту величину через полученное соотношение. Перевернём дробь, добавим и вычтем в числителе скорость Медведя и разобьём получившуюся дробь на две: \[\frac{1}{\Delta} = \frac{2(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})} = \frac{2\big((v_{\text{З}} - v_{\text{М}}) - (v_{\text{В}} - v_{\text{М}})\big)}{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})} = \frac{2}{S} - \frac{2\,(v_{\text{В}} - v_{\text{М}})}{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})}.\] Поскольку отношение разности скоростей во втором слагаемом равно \(1/2\), находим \(\dfrac{1}{\Delta} = \dfrac{1}{S}\), т.е. \(\Delta = S\).