Лёд в калориметре

Рассмотрите три случая: начальная температура льда ниже \(-20\,^{\circ}\)C, равна ей и выше (но не выше \(0\,^{\circ}\)C). В каждом случае лёд либо остаётся льдом, либо частично или полностью тает.

В зависимости от начальной температуры льда возможны разные результаты его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C.

Если начальная температура льда меньше \(-20\,^{\circ}\)C, то в результате его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C лёд останется льдом. Поэтому для его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C необходимо количество теплоты \[Q_1 = c_{\text{л}}\, m\,\Delta t = 4{,}2 \cdot 10^4~\text{Дж}.\]

Если начальная температура льда равна \(-20\,^{\circ}\)C, то в результате его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C его температура станет равной температуре плавления льда \(t_0 = 0\,^{\circ}\)C, а вот доля расплавившейся части льда никак не определена условием задачи. Поэтому минимальному количеству теплоты, реализующему это нагревание, отвечает ситуация, когда лёд вообще не плавится, а максимальному — когда весь лёд расплавится и остаётся водой с температурой \(0\,^{\circ}\)C. Отсюда находим пределы для количества теплоты, необходимой для реализации этого случая: \[c_{\text{л}}\, m\,\Delta t < Q_2 \le c_{\text{л}}\, m\,\Delta t + \lambda m,\] или \(4{,}2 \cdot 10^4\) Дж \(< Q_2 \le 37{,}2 \cdot 10^4\) Дж.

Если начальная температура льда лежит в интервале от \(-20\,^{\circ}\)C до \(0\,^{\circ}\)C, лёд при нагревании на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C полностью растает, и тогда для его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C его нужно довести до \(0\,^{\circ}\)C, превратить в воду и довести до температуры, которая на \(20\) градусов больше начальной. Для этого льду нужно сообщить количество теплоты \[Q_3 = c_{\text{л}}\, m\,(t_0 - t_{\text{н}}) + \lambda m + c_{\text{в}}\, m\,(t_{\text{н}} + \Delta t - t_0) = c_{\text{в}}\, m\,\Delta t + (c_{\text{в}} - c_{\text{л}})\, m\, t_{\text{н}} + \lambda m,\] где \(t_{\text{н}}\) — начальная температура льда.

Поскольку \(c_{\text{в}} > c_{\text{л}}\) и \(t_{\text{н}} < 0\), максимум этого выражения достигается при \(t_{\text{н}} = 0\,^{\circ}\)C, минимум — при \(t_{\text{н}} = -20\,^{\circ}\)C, то для величины \(Q_3\) получаются пределы \[37{,}2 \cdot 10^4~\text{Дж} < Q_3 \le 41{,}4 \cdot 10^4~\text{Дж}.\]

Собирая вместе все три случая, находим, в каких пределах может меняться количество теплоты, необходимое для нагревания льда на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C, в зависимости от начальной температуры льда: \[c_{\text{л}}\, m\,\Delta t \le Q \le c_{\text{в}}\, m\,\Delta t + \lambda m,\] или \(4{,}2 \cdot 10^4\) Дж \(\le Q \le 41{,}4 \cdot 10^4\) Дж.