Серый ящик с конденсаторами

Сравните напряжения сразу после подключения батарейки и в установившемся режиме, когда выводы резистора оказываются при одном потенциале.

Соединим последовательно «серый» ящик, эталонный конденсатор \(C_0\) и батарейку с напряжением \(U_0\) (на схеме ящик показан серым прямоугольником).

1) Сразу после замыкания цепи измерим напряжение \(U_1\) на «сером» ящике (или \(U_{01}\) на эталонном конденсаторе). Измерять нужно достаточно быстро, так как сразу после подключения начинается перераспределение зарядов внутри ящика.

2) Периодически контролируем напряжение до тех пор, пока оно не перестанет меняться. Установившееся напряжение обозначим \(U_2\) (или \(U_{02}\)).

Сразу после замыкания конденсаторы верхней и нижней ветвей ящика заряжаются, но выравнивания их потенциалов через резистор ещё не произошло: \[\frac{U_0}{U_1} = 1 + \frac{1}{C_0}\cdot\frac{2C_1C_2}{C_1 + C_2}. \qquad (1)\] В установившемся режиме выводы резистора имеют одинаковый потенциал, и \[\frac{U_0}{U_2} = 1 + \frac{C_1 + C_2}{2C_0}. \qquad (2)\] Решая систему (1) и (2), получаем \[C_1C_2 = C_0^2\left(\frac{U_0}{U_1} - 1\right)\left(\frac{U_0}{U_2} - 1\right) = A, \qquad (3)\] \[C_1 + C_2 = 2C_0\left(\frac{U_0}{U_2} - 1\right) = B, \qquad (4)\] откуда \[C_{1,2} = \frac{B}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{B}{2}\right)^2 - A}.\]

В нашем случае \(U_0 = 9{,}88\) В, \(U_1 = 3{,}71\) В, \(U_2 = 3{,}24\) В, \(C_0 = 1{,}0\) мФ. Тогда \(B = 4{,}10\) мФ, \(A = 3{,}41\) мФ\(^2\), и \(C_1 \approx 2{,}9\) мФ, \(C_2 \approx 1{,}2\) мФ.