Многогранник из резисторов

(а) Из произвольной вершины икосаэдра выходят пять рёбер, заканчивающихся в пяти вершинах, образующих правильный пятиугольник и соединённых пятью рёбрами-перемычками. Назовём этот пятиугольник ближайшим к исходной вершине слоем. Затем следующими по удалённости от исходной вершины идут пять вершин с пятью перемычками, также образующие правильный пятиугольник, равный предыдущему и лежащий в следующем слое, параллельном первому. Из каждой вершины первого слоя выходят, а в каждую вершину второго слоя входят по два ребра, соединяющих первый слой со вторым — всего десять рёбер. И, наконец, самая дальняя вершина, равноудалённая от пяти вершин второго слоя, соединена с ними пятью рёбрами. Общую систему вершин икосаэдра, таким образом, можно представить в виде двух правильных пятиугольных пирамид, телесные высоты которых лежат на общей прямой, а основания параллельны и повёрнуты друг относительно друга на угол \(36^\circ\). Поэтому при подключении контактов источника питания к паре наиболее удалённых вершин пять вершин первого слоя будут электрически эквивалентны, то есть будут иметь одинаковый потенциал, и их можно накоротко соединить друг с другом. Пять вершин второго слоя также будут иметь одинаковый потенциал, отличный от потенциала вершин первого слоя, и их также можно закоротить. Таким образом, эквивалентная схема в этом случае состоит из пяти соединённых параллельно резисторов, к которым присоединено последовательно сначала десять параллельных резисторов (из рёбер-резисторов икосаэдра, соединяющих два слоя), а потом ещё пять параллельных резисторов. Поэтому искомое сопротивление будет равно \(R_{\text{общ}} = \dfrac{R}{5} + \dfrac{R}{10} + \dfrac{R}{5} = \dfrac{R}{2}\).

(б) Рассмотрим в этом же ключе додекаэдр и стартуем от какой-нибудь его вершины, подключив к ней один из контактов источника питания. Ближайшими соседями этой вершины окажутся три вершины первого эквипотенциального слоя, с которыми она связана напрямую тремя выходящими из неё рёбрами. Из каждой вершины этого слоя выходят по два ребра (всего в каждой вершине соединяются три ребра), попадающих в шесть вершин следующего (второго) эквипотенциального слоя. Дальше из этих шести вершин выходят двенадцать рёбер, при этом шесть идут к следующему (третьему) слою, состоящему опять-таки из шести вершин, а другие шесть рёбер замыкаются парами, образуя три перемычки между предыдущими шестью эквипотенциальными вершинами второго слоя. Из каждой вершины третьего слоя выходят по два ребра, из них одно замыкается парой с ребром от соседней вершины этого слоя, а второе идёт к одной из трёх вершин следующего (четвёртого) слоя, к каждой из которых приходят по два ребра из вершин третьего слоя. Из трёх вершин четвёртого слоя выходят три оставшихся ребра, которые встречаются в последней из 20 вершин — той наиболее удалённой, к которой подключается второй контакт источника. Таким образом, из-за условий геометрической и физической симметрии наша цепь будет эквивалентна последовательному соединению пяти пучков параллельно соединённых резисторов: сначала трёх, потом шести, затем снова шести (из-за исключённых шести перемычек), потом опять шести, и, наконец, трёх. Отсюда получаем, что искомое сопротивление будет равно \(R_{\text{общ}} = \dfrac{R}{3} + \dfrac{R}{6} + \dfrac{R}{6} + \dfrac{R}{6} + \dfrac{R}{3} = \dfrac{7}{6}R\).

Для ответа на второй вопрос надо подсчитать, через какое минимальное количество рёбер соединяются наиболее удалённые вершины многогранников. В случае (а) это, очевидно, три, и в силу симметрии возможно не более 3 разных значений сопротивления между вершинами: между соседними вершинами, через одну и через две (то есть как раз между наиболее удалёнными вершинами). В случае (б) это пять, и возможно не более 5 разных значений сопротивления между вершинами: между соседними вершинами, через одну, две, три и четыре.