Четыре груза и нить

Направим ось \(OX\) вправо по горизонтали, а ось \(OY\) — вертикально вверх. Обозначим через \(\vec a_1\), \(\vec a_2\), \(\vec a_3\) и \(\vec a_4\) ускорения грузов 1, 2, 3 и 4 соответственно. Отметим, что ускорения \(\vec a_1\) и \(\vec a_2\) направлены горизонтально, а горизонтальные компоненты ускорений \(\vec a_3\) и \(\vec a_4\) совпадают с ускорениями \(\vec a_1\) и \(\vec a_2\): \(a_{3x} = a_{1x}\), \(a_{4x} = a_{2x}\).

Используя свойство нерастяжимости, то есть постоянства длины нити, получим уравнение кинематической связи. При смещении грузов 1 и 2 по горизонтали на \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) изменение длины нити равно \(\Delta x_2 - \Delta x_1\); при смещении грузов 3 и 4 по вертикали на \(\Delta y_3\) и \(\Delta y_4\) изменение длины нити равно \(-\Delta y_3 - \Delta y_4\). Ввиду нерастяжимости нити, полное изменение её длины при одновременном смещении всех четырёх грузов равно нулю: \(\Delta x_2 - \Delta x_1 - \Delta y_3 - \Delta y_4 = 0\). Отсюда следует уравнение кинематической связи: \(a_{2x} - a_{1x} - a_{3y} - a_{4y} = 0\).

Для получения остальных уравнений обозначим через \(T\) силу натяжения нити. Запишем для третьего и четвёртого грузов уравнения движения по вертикали (по оси \(OY\)): \[m_1a_{3y} = T - m_1g,\quad m_2a_{4y} = T - m_2g.\] Далее, запишем уравнения движения по горизонтали (по оси \(OX\)) для системы грузов 1 и 3, а также для системы грузов 2 и 4: \[(M_1 + m_1)a_{1x} = T,\quad (M_2 + m_2)a_{2x} = -T.\] Из полученных соотношений выразим все ускорения через силу натяжения нити \(T\): \[a_{3y} = -g + \dfrac{T}{m_1};\quad a_{4y} = -g + \dfrac{T}{m_2};\quad a_{1x} = \dfrac{T}{M_1 + m_1};\quad a_{2x} = -\dfrac{T}{M_2 + m_2}.\] Подставим их в уравнение кинематической связи и получим уравнение для нахождения \(T\): \[-\dfrac{T}{M_2 + m_2} - \dfrac{T}{M_1 + m_1} + \left(g - \dfrac{T}{m_1}\right) + \left(g - \dfrac{T}{m_2}\right) = 0.\] Отсюда \[T = \dfrac{2g}{\dfrac{1}{M_1 + m_1} + \dfrac{1}{M_2 + m_2} + \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}}.\] Таким образом, искомые ускорения равны \[a_{1x} = \dfrac{2g}{(M_1 + m_1)\left(\dfrac{1}{M_1 + m_1} + \dfrac{1}{M_2 + m_2} + \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}\right)},\] \[a_{2x} = -\dfrac{2g}{(M_2 + m_2)\left(\dfrac{1}{M_1 + m_1} + \dfrac{1}{M_2 + m_2} + \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}\right)}.\]