Стержневой удар

Из малости деформаций следует, что при ударе учитываются только силы реакции. Момент инерции стержня относительно оси через центр масс перпендикулярно грани равен \(m(a^2 + L^2)/12\).

Из малости деформаций следует малость времени соударения, поэтому учитываем только силы реакции: \(N_1\) — между стержнями, \(N_2\) и \(N_3\) — между стержнями и поверхностью. Жёсткость поверхности намного больше жёсткости стержней, поэтому перед отрывом вертикальная составляющая скорости точки касания каждого стержня с поверхностью остаётся равной нулю. Конечные скорости центров масс и угловые скорости записываются в проекциях на горизонтальную ось \(x\) и вертикальную \(y\); положительное вращение — против часовой стрелки.

Для вертикального стержня (масса \(m\), момент инерции \(I = \tfrac{1}{12}m(a^2 + L^2) = \tfrac{5}{6}ma^2\), плечо реакции \(N_1\) относительно центра равно \(L/2 - a = a/2\)): \[mV_{1x} = N_1\Delta t,\quad mV_{1y} = N_3\Delta t,\quad I\omega_1 = \tfrac{a}{2}N_1\Delta t - \tfrac{a}{2}N_3\Delta t.\] Для горизонтального стержня: \[mV_{2x} = mv_0 - N_1\Delta t,\quad mV_{2y} = N_2\Delta t,\quad I\omega_2 = \tfrac{a}{2}N_1\Delta t - \tfrac{L}{2}N_2\Delta t.\] Условия связи для точек касания с поверхностью \(V_{1y} - \omega_1\dfrac{a}{2} = 0\) и \(V_{2y} - \omega_2\dfrac{L}{2} = 0\) дают связь «очень больших» сил реакции: \(N_2 = \varepsilon N_1\), \(N_3 = \eta N_1\), где \(\varepsilon = \dfrac{3aL}{a^2 + 4L^2} = \dfrac{9}{37}\), \(\eta = \dfrac{3a(L - 2a)}{4a^2 + L^2} = \dfrac{3}{13}\). Через скорость \(V \equiv V_{1x}\) выражаются все остальные: \[V_{1y} = \tfrac{3}{13}V,\quad V_{2x} = v_0 - V,\quad V_{2y} = \tfrac{9}{37}V,\quad \omega_1 = \tfrac{6}{13}\tfrac{V}{a},\quad \omega_2 = \tfrac{6}{37}\tfrac{V}{a}.\] Подставляя это в закон сохранения энергии \(\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{m}{2}\left(V_1^2 + V_{2x}^2 + V_{2y}^2\right) + \dfrac{I}{2}\left(\omega_1^2 + \omega_2^2\right)\), находим \(V = \dfrac{481}{556}v_0 \approx 0{,}8651\,v_0\), и тогда \[\omega_1 = \frac{111}{278}\frac{v_0}{a} \approx 0{,}399\,\frac{v_0}{a},\qquad \omega_2 = \frac{39}{278}\frac{v_0}{a} \approx 0{,}140\,\frac{v_0}{a}.\] Оба стержня после удара вращаются против часовой стрелки (\(\omega_{1,2} > 0\)).