Из области фантастики

Сравните средний импульс, передаваемый стенке при упругом и неупругом ударе. Затем найдите, как уменьшается масса газа в сосуде со временем, и решите получившееся уравнение.

При абсолютно неупругих соударениях передача импульса от молекулы к стенке в 2 раза меньше, чем при упругом. Средняя передача импульса \(\langle\Delta p\rangle = 0{,}98\,\Delta p + 0{,}02\,\dfrac{\Delta p}{2} = 0{,}99\,\Delta p\), где \(\Delta p\) — передача импульса при упругих соударениях. Значит, сразу после воздействия давление мгновенно падает на \(1\%\), и для уменьшения давления на \(2\%\) оно должно упасть ещё примерно на \(1\%\) от начального.

Второй эффект связан с тем, что при абсолютно неупругом соударении молекулы «прилипают» к стенкам, и масса газа уменьшается. Средняя кинетическая энергия поступательного движения оставшихся молекул практически не меняется, поэтому давление примерно пропорционально массе газа. Число молекул, прилипающих за малое время \(\Delta t\) к стенкам общей площадью \(S = 6a^2\), можно оценить как \(\Delta N \approx 0{,}02\cdot\dfrac{1}{6}\,n\cdot 6a^2 v\,\Delta t\), где \(v \approx \sqrt{3RT/\mu}\) — средняя скорость молекул. Тогда \[\frac{\Delta m}{\Delta t} = -m_0\frac{\Delta N}{\Delta t} \approx -0{,}02\,m_0 n a^2 \sqrt{\frac{3RT}{\mu}} = -\frac{m}{50a}\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}.\] Отсюда время уменьшения массы (и давления) ещё на \(1\%\) равно \(t_1 \approx 0{,}5a\sqrt{\mu/(3RT)} \approx 2{,}2\) мс: за это время на стенках осядет примерно \(1\%\) начальной массы криптона, \(\Delta m_1 \approx 0{,}01\,\mu\nu \approx 21\) г.

Для больших изменений давления нужно решить уравнение \(\dfrac{dm}{dt} = -\dfrac{m}{\tau}\) с \(\tau = 50a\sqrt{\mu/(3RT)} \approx 0{,}22\) с. Его решение \(m(t) = m(0)\,e^{-t/\tau}\), а давление \(p(t) = 0{,}99\,p_0\,e^{-t/\tau}\). Давление уменьшится в два раза к моменту \(t_2 = \tau\ln(1{,}98) \approx 0{,}15\) с. Масса «захваченного» стенками криптона \(\Delta m_2 = \left(1 - \dfrac{0{,}5}{0{,}99}\right)\mu\nu = \dfrac{49}{99}\,\mu\nu \approx 1039\) г, то есть немного меньше половины общей массы.