Разные мощности

Длинную цепочку резисторов можно заменить одним эквивалентным резистором, сопротивление которого не меняется при отсечении одного звена. Затем запишите правила Кирхгофа для «моста».

Пусть \(R\) — сопротивление одного резистора. Всю длинную цепочку из 2020 резисторов (кроме трёх занумерованных и одного, включённого последовательно с цепочкой) можно заменить одним резистором \(R^*\). Поскольку при отсечении от такой цепочки одного звена её сопротивление практически не меняется, \[R^* = \frac{R(2R + R^*)}{3R + R^*} \;\Rightarrow\; R^{*2} + 2RR^* - 2R^2 = 0 \;\Rightarrow\; R^* = (\sqrt{3} - 1)R.\] Значит, общее сопротивление «правой нижней» ветви схемы равно \(R_n = \sqrt{3}\,R\); это общее сопротивление всех «незанумерованных» резисторов схемы. Общее напряжение, создаваемое источником на всей «мостовой» схеме, равно \[U = I_1 R + I_2 R = I_3 R + I_n R_n \;\Rightarrow\; I_1 + I_2 = I_3 + \sqrt{3}\,I_n.\] С другой стороны, условие непрерывности тока даёт \(I_1 + I_3 = I_2 + I_n\). Складывая эти два уравнения почленно, получаем \(2I_1 = (\sqrt{3} + 1)I_n\). Отсюда \[\frac{P_n}{P_1} = \left(\frac{I_n}{I_1}\right)^2 \frac{R_n}{R} = \left(\frac{2}{\sqrt{3} + 1}\right)^2 \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = 4\sqrt{3} - 6 \approx 0{,}9282.\]