Резисторы со схемой через узел O

Подсказка

Обозначьте токи в ветвях и приравняйте напряжение между входом и выходом, вычисленное по разным путям; симметрия цепи подскажет, какие токи равны или в каком отношении.

Решение

Пусть к концам электрической цепи подключена батарейка с напряжением \(U\).

(а) Пусть в точке \(O\) соединения нет. Изобразим на рисунке электрические токи.

Рассчитывая напряжение между точками \(A\) и \(B\) разными способами, получим:

1. \(U = IR + I_2R + IR\), путь \(ACDB\);

2. \(U = IR + I_1R + IR\), путь \(ACFB\).

Следовательно, \(I_1 = I_2\). Учитывая, что в точку \(C\) втекает ток \(I\), а вытекают два равных тока \(I_1\) и \(I_2\), получим: \(I_1 = I_2 = I/2\). Следовательно, \(U = 2{,}5IR\); сила тока через батарейку составляет \(2I\) и сопротивление цепи: \[R_1 = \frac{2{,}5IR}{2I} = 1{,}25R = 3{,}5\text{ кОм}.\]

(б) Пусть в точке \(O\) соединение есть. Изобразим на рисунке электрические токи.

Учтём, что на резисторе, подсоединённом к точкам \(E\) и \(F\), напряжение и ток равны нулю. Рассчитывая напряжение между точками \(A\) и \(B\) разными способами, получим:

1. \(U = I_3R + I_3R\), путь \(AEFB\) (отсюда \(I_3 = U/(2R)\));

2. \(U = I_0R + I_5R + I_0R\), путь \(ACDB\);

3. \(U = I_0R + I_4R + I_4R + I_0R\), путь \(ACODB\).

Следовательно, \(I_5 = 2I_4\). Учитывая, что в точку \(C\) втекает ток \(I_0\), а вытекают два равных тока \(I_4\) и \(I_5 = 2I_4\), получим: \(I_4 = I_0/3\), \(I_5 = 2I_0/3\). Следовательно, \(U = 8I_0R/3\) и \(I_0 = 3U/(8R)\).

Общая сила тока через батарейку равна: \[I_0 + I_3 = \frac{U}{2R} + \frac{3U}{8R} = \frac{7U}{8R}.\] Следовательно, сопротивление цепи равно \[R_2 = \frac{U}{7U/(8R)} = \frac{8}{7}R = 3{,}2\text{ кОм}.\]