Стремянка на шероховатом полу

Рассмотрим условие равновесие всей лестницы целиком. Уравнение моментов относительно точки опоры левого стержня дает

\[mg\dfrac{l}{2}\cos\alpha + 4mg\dfrac{3l}{2}\cos\alpha = N_2\,2l\cos\alpha\] где \(l\) — длина каждого стержня. Отсюда получаем \[N_2 = \dfrac{13}{4}mg\] Аналогично, из уравнения моментов относительно правой опоры, получаем \[N_1 = \dfrac74mg\] Поскольку половинки лестницы соединены шарнирно, в точке соединения не создается сосредоточенного момента, и можно записать уравнение моментов для правой и левой половинок лестницы относительно шарнира. Например, для правой половинки имеем \[4mg\dfrac{l}{2}\cos\alpha + F_{\text{тр},2}\,l\sin\alpha = N_2\,l\cos\alpha\qquad\Rightarrow\qquad F_{\text{тр},2} = \dfrac54mg\operatorname{ctg}\alpha\] Правая половинка лестницы будет оставаться в равновесии при выполнении условия \[F_{\text{тр},2} \le kN_2\] Или \[\dfrac54mg\operatorname{ctg}\alpha \le k\dfrac{13}{4}mg\qquad\Rightarrow\qquad \operatorname{tg}\alpha \ge \dfrac{5}{13k}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha \ge \operatorname{arctg}\left(\dfrac{5}{13k}\right)\tag{*}\] Аналогично находим, что левая половинка лестницы будет оставаться в равновесии при выполнении условия \[\dfrac54mg\operatorname{ctg}\alpha \le k\dfrac74mg\qquad\Rightarrow\qquad \operatorname{tg}\alpha \ge \dfrac{5}{7k}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha \ge \operatorname{arctg}\left(\dfrac{5}{7k}\right)\tag{**}\] Поскольку тангенс — монотонно растущая функция, при раздвижении половинок лестницы (уменьшении угла \(\alpha\)) первым нарушится условие (**). Т.е. начнет скользить легкая половинка. Это легко объяснить — до начала скольжения силы трения должны быть одинаковы (условие сил в проекциях на горизонтальную ось), а сила реакции меньше для более легкой половинки лестницы. Поэтому условие \(F_{\text{тр}} \le kN\) нарушится для легкой половинки. Поэтому лестница будет в равновесии при \[\alpha \ge \operatorname{arctg}\left(\dfrac{5}{7k}\right).\]