Лавина брусков на наклонной плите

Найдите скорость «состава» из \(N\) брусков перед следующим ударом и закон сохранения импульса при прилипании; при \(N\gg1\) скорость выходит на установившееся значение.

\(v_0=\sqrt{\dfrac{\mu^2 g d}{\sqrt{\mu^2+1}}}\) (это \(v_0=\sqrt{\mu g d\sin\alpha}\) при \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\)).

Допустим, что после очередного удара образовался «состав» из \(N\) брусков, движущийся по склону со скоростью \(v\). До следующего удара «состав» испытывает ускорение \(a\): \[Nma=Nmg\sin\alpha-(N-1)\mu mg\cos\alpha,\] и его скорость возрастает с \(v\) до \(v_1=\sqrt{v^2+2ad}\). Здесь \(m\) — масса бруска, \(\alpha=\mathrm{arctg}\,\mu\) — угол между плитой и горизонталью.

При ударе сохраняется параллельная плоскости компонента импульса системы: \(Nmv_1=(N+1)mu\), где \(u\) — скорость «состава» после удара. Отсюда \[u^2=\frac{N^2}{(N+1)^2}v^2+\frac{2N\mu gd\sin\alpha}{(N+1)^2},\] или \[u^2-v^2=-\frac{(2N+1)v^2}{(N+1)^2}+\frac{2N\mu gd\sin\alpha}{(N+1)^2}.\] Нулевой разности отвечает \[v^2=v_0^2=\frac{\mu gd\sin\alpha}{\bigl(1+\frac{1}{2N}\bigr)^2}.\] Если \(v>v_0\), скорость уменьшается, если \(v<v_0\) — увеличивается. При больших \(N\) установившееся значение \[v_0=\sqrt{\mu gd\sin\alpha}=\sqrt{\frac{\mu^2 gd}{\sqrt{\mu^2+1}}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.