Пробка в стенке сосуда

Пробку удерживают атмосферное давление снаружи и трение о дно, а выталкивает давление жидкости. Давление жидкости на торец пробки берите на глубине середины отверстия.

Пробка удерживается в отверстии за счёт силы трения о дно сосуда и атмосферного давления, действующего на её внешний торец. Выталкиванию пробки препятствуют сила атмосферного давления \(p_0 S\), действующая на внешний торец пробки наружу, и сила трения \(F_{\text{тр}}\) о дно. Выталкивает пробку сила давления жидкости \(p_{\text{ср}} S\) на внутренний торец, где \(p_{\text{ср}}\) — среднее давление жидкости на торец пробки.

Условие отсутствия движения пробки: \[p_{\text{ср}} S \ge F_{\text{тр}} + p_0 S .\] Среднее давление жидкости на торец пробки равно давлению на глубине середины отверстия: \[p_{\text{ср}} = p_0 + \rho g\left(H + \dfrac{h}{2}\right) .\] Площадь торца \(S = d\,h\) (где \(d\) — ширина отверстия), сила трения \[F_{\text{тр}} = \mu(\rho g H + p_0)\,\ell d .\] Подставляя, получаем \[\left(p_0 + \rho g\left(H + \dfrac{h}{2}\right)\right) d h \ge \mu(\rho g H + p_0)\,\ell d + p_0 d h .\] Сокращая на \(d\) и приводя подобные, получаем \[\rho g h H + \dfrac{\rho g h^2}{2} \ge \mu\rho g \ell H + \mu p_0 \ell ,\] откуда следует неравенство для высоты уровня жидкости: \[H \ge \dfrac{\mu p_0 \ell - \rho g h^2/2}{\rho g (h - \mu\ell)} .\] Подставляя числа: \[H_{\min} = \dfrac{0{,}3\cdot 100000\cdot 0{,}01 - 1000\cdot 10\cdot (0{,}05)^2/2}{1000\cdot 10\cdot (0{,}05 - 0{,}3\cdot 0{,}01)} = \dfrac{300 - 12{,}5}{470} = \dfrac{287{,}5}{470} \approx 0{,}61\text{ м} .\]