Сжимаемая жидкость

Масса жидкости выражается через среднюю плотность столба. Плавающий кубик увеличивает общую массу содержимого сосуда на свою массу.

Выразим массу жидкости через среднюю плотность: \[M = \rho_{\text{ср}} h_0 S = \dfrac{\rho_0 + \rho(h_0)}{2}\, h_0 S = \rho_0 h_0\left(1 + \dfrac{\alpha h_0}{2}\right) S .\] Отсюда \[\alpha h_0^2 + 2h_0 - \dfrac{2M}{S\rho_0} = 0, \qquad h_0 = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2M\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - 1\right] .\] При условии плавания кубика его погружение эквивалентно увеличению общей массы жидкости: \[h = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2(M+m)\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - 1\right] .\] Для обоснования представим, что у сосуда с жидкостью убрали дно и поставили такую конструкцию на весы. С одной стороны показания весов определяются суммой масс жидкости и погружённого в неё тела, а с другой — на чашу весов давит сила гидростатического давления столба жидкости (кубик плавает, не касаясь дна). Увеличение показаний весов соответствует увеличению высоты столба, поэтому новая высота соответствует новой массе содержимого сосуда.

Изменение высоты столба жидкости: \[\Delta h = h - h_0 = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2(M+m)\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - \left(1 + \dfrac{2M\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2}\right] .\]