Поршень и заливаемая жидкость

Вес груза уравновешен давлением столба жидкости в нижней части, поэтому высота столба над поршнем не меняется. Сравните объём залитой жидкости со сдвигом поршня.

\(U=\dfrac{Q}{2S}\).

Введём обозначения: \(U\) — искомая скорость движения груза, \(X_0\) — начальное расстояние от поршня до места соединения частей трубы, \(Y_0\) — начальная высота столба жидкости в узкой части трубы, \(X\) и \(Y\) — соответствующие расстояния в произвольный момент времени \(t\) после начала заливания, \(\rho\) — плотность жидкости.

Искомая скорость груза направлена вверх и равна скорости поршня, то есть скорости, с которой увеличивается \(X\). Согласно условию, в начальной ситуации сила давления жидкости на поршень равна весу груза: \(Mg=\rho g(X_0+Y_0)\cdot 3S\). Аналогично в любой другой момент, пока в обеих частях трубы есть жидкость: \(Mg=\rho g(X+Y)\cdot 3S\). Значит, в любой момент \(X_0+Y_0=X+Y\).

Начальный объём жидкости равен \(V_0=3SX_0+SY_0\), а в момент времени \(t\) после начала заливания он равен \(V_0+Qt=3SX+SY\). Перепишем это выражение: \[V_0+Qt=3SX+SY=2SX+S(X+Y)=2SX-2SX_0+(3SX_0+SY_0)=2S(X-X_0)+V_0.\] Отсюда \(X(t)=X_0+\dfrac{Q}{2S}t=X_0+Ut\), то есть \(U=\dfrac{Q}{2S}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.