Два крана и нагреватели

Когда открыт только второй кран, вся вода проходит через один нагреватель: по этой температуре найдите исходную температуру воды в трубе. Затем разделите подачу насоса между кранами по времени наполнения вёдер.

\(T_2=60\) \(^\circ\)C.

Введём обозначения: \(N\) — тепловая мощность, передаваемая воде при её протекании через нагреватель, \(V\) — объём воды, подаваемой насосом в единицу времени, \(C\) и \(\rho\) — удельная теплоёмкость и плотность воды, \(T_0\) — температура воды в трубе без подогрева, \(T_x\) — температура воды, набиравшейся в ведро №2 до закрывания крана №1.

Сначала найдём соотношение между объёмами воды, протекающими через краны №1 и №2, когда оба открыты. Пусть через кран №1 идёт доля \(X\) от всей подачи, то есть \(XV\), тогда через кран №2 идёт \((1-X)V\). После закрытия крана №1 через кран №2 подаётся \(V\). Объёмы вёдер одинаковы, поэтому \(t_1XV=t_1(1-X)V+t_2V\), откуда \(X=\dfrac{t_1+t_2}{2t_1}=\dfrac{3}{4}\). Значит, через кран №2 при обоих открытых кранах течёт четверть воды. Когда наполнилось ведро №1, второе ведро было заполнено на треть.

Когда открыт только кран №2, вся вода проходит через один нагреватель, и её температура \(T_3\) получается из исходной температуры \(T_0\). Уравнение теплового баланса за малое время \(t_\text{п}\) (заведомо меньшее времени наполнения ведра): \(VC(T_3-T_0)=N\).

Для воды, которая течёт через кран №1, \(XVC(T_1-T_0)=N\), откуда \(X(T_1-T_0)=T_3-T_0\). Отсюда \(T_0=4T_3-3T_1=30\) \(^\circ\)C.

Для воды, которая в это время набиралась в ведро №2, \((1-X)VC(T_x-T_0)=N\), откуда \((1-X)(T_x-T_0)=T_3-T_0\), то есть \(T_x=4T_3-3T_0=90\) \(^\circ\)C.

Итак, в ведре №2 треть объёма занята водой с температурой \(T_x=90\) \(^\circ\)C, а две трети — водой с температурой \(T_3=45\) \(^\circ\)C. После установления теплового равновесия \(\dfrac{1}{3}C\,Y(T_x-T_2)=\dfrac{2}{3}C\,Y(T_2-T_3)\), откуда \[T_2=\frac{T_x+2T_3}{3}=60~^\circ\text{C}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.