Резинка с грузами и блоком

Жёсткость части резинки обратно пропорциональна её длине. Запишите равновесие нижней трети резинки до и после прикрепления грузика и вычтите одно уравнение из другого.

\(X=\dfrac{H}{9}\).

Введём обозначения: \(L\) и \(k\) — длина недеформированной резинки и её коэффициент жёсткости.

Сначала найдём жёсткость всей резинки. По условию длина резинки увеличилась на \(H/3\) при увеличении нагрузки на \(Mg\), то есть \(k\dfrac{H}{3}=Mg\), откуда \(k=\dfrac{3Mg}{H}\).

Далее найдём длину всей резинки в недеформированном состоянии. В исходном положении длина растянутой резинки равна \(3H\), и из равновесия системы \(k(3H-L)=2Mg\), откуда \(L=\dfrac{7Mg}{k}=\dfrac{7H}{3}\).

Жёсткость части резинки длиной \(Y\) равна \(kL/Y\). Добавочный грузик прикрепляется к середине правой части резинки, то есть к точке, которая находится на расстоянии \(L/3\) от конца нерастянутой резинки. Жёсткость этого участка равна \(3k\).

До прикрепления грузика с массой \(M\) равновесие этой трети резинки даёт \(3k\left(H-\dfrac{L}{3}\right)=2Mg\). После прикрепления \(3k\left[(H-X)-\dfrac{L}{3}\right]=Mg\). Величина \(X\) — уменьшение длины участка резинки между полом и грузиком, и это и есть искомое смещение груза. Натяжение, а значит и длина участка резинки между грузом и добавочным грузиком, не меняются.

Вычитая уравнения друг из друга, получаем \(3kX=Mg\), то есть \(X=\dfrac{H}{9}\).

К тому же ответу можно прийти и без вычисления длины нерастянутой резинки: после подвешивания грузика массой \(M\) нагрузка на нижнюю треть резинки уменьшается на \(Mg\), отсюда сразу \(3kX=Mg\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.