Задачи › Уравнение Бернулли, истечение жидкости

Параллельные насосы

  1. Параллельные насосы

    ИОШ 2015/16, 9-10 кл.
    4/10

    Важным параметром любого жидкостного насоса является его напорно-расходная характеристика, которая показывает, какой перепад давлений \(\Delta p\) (напор) может обеспечить насос в зависимости от количества жидкости \(\mu\), которое он может прокачать в единицу времени (расход). Эта зависимость, как правило, является убывающей функцией: при большом расходе насос может обеспечить только маленький напор и наоборот. Два насоса с напорно-расходными характеристиками \(\Delta p_1 = p_0 - \alpha\mu^2\) и \(\Delta p_2 = p_0 - \beta\mu\), где \(p_0\), \(\alpha\) и \(\beta\) – известные числа с соответствующими размерностями, включили в трубопровод так, как показано на рисунке (параллельно). Каким будет расход в системе насосов при напоре \(\Delta p = p_0/2\)? Какой напор обеспечит система насосов при расходе \(\mu_0\)? (\(\ominus\) – схематическое обозначение насоса.)

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(\mu = \sqrt{\dfrac{p_0}{2\alpha}} + \dfrac{p_0}{2\beta}\);  2) \(\Delta p = p_0 - \alpha\left(\dfrac{\sqrt{\beta^2 + 6\alpha\beta\mu_0} - \beta}{2\alpha}\right)^2\).

    Решение

    При параллельном соединении насосы работают при одном и том же напоре \(\Delta p\), а их расходы складываются. При напоре \(\Delta p = p_0/2\) расходы первого и второго насоса равны \(\mu_1 = \sqrt{p_0/(2\alpha)}\) и \(\mu_2 = p_0/(2\beta)\), откуда \[\mu\!\left(\tfrac{p_0}{2}\right) = \sqrt{\frac{p_0}{2\alpha}} + \frac{p_0}{2\beta}.\] При заданном расходе \(\mu_0\) расход распределяется так, чтобы напоры первого и второго насосов были одинаковы: \[\mu_0 = \mu_1 + \mu_2, \qquad p_0 - \alpha\mu_1^2 = p_0 - \beta\mu_2 .\] Отсюда \(\mu_1 = \dfrac{\sqrt{\beta^2 + 6\alpha\beta\mu_0} - \beta}{2\alpha}\) и \(\Delta p = p_0 - \alpha\mu_1^2\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх