Горячая труба в помещении

Пусть в единицу времени через сечение трубы протекает масса воды \(\Delta m\), а температура воды посередине трубы \(t_2\). Первая половина трубы теряет в единицу времени тепло \(c\,\Delta m\,(t_1 - t_2)\), которое уходит в помещение через боковые стенки. Поток тепла пропорционален разности температур выбранной точки трубы и помещения; коэффициент \(\eta\) одинаков для обеих половин. Возьмём в качестве такой точки начало каждой половины трубы: \[c\,\Delta m\,(t_1 - t_2) = \eta\,(t_1 - t), \qquad c\,\Delta m\,(t_2 - t_3) = \eta\,(t_2 - t).\] Деля уравнения друг на друга, получаем квадратное уравнение \[t_2^2 - 2t\,t_2 + t\,(t_1 + t_3) - t_1 t_3 = 0 ,\] откуда \[t_2 = t \pm \sqrt{(t_1 - t)(t_3 - t)} .\] Физический корень лежит между \(t_3\) и \(t_1\): \[t_2 = 15\,^\circ\text{C} + \sqrt{(75 - 15)(30 - 15)}\,^\circ\text{C} = 45\,^\circ\text{C}.\]