Рулон бумаги

Сравните объём оставшейся части рулона с объёмом бумаги, израсходованной за 40 дней, и учтите, что интенсивность работы постоянна.

Отношение числа дней работы на двух порциях бумаги равно отношению объёмов этих порций: \[\frac{n_{2/3}}{40} = \frac{V_{2/3}}{V_{1/3}},\] где \(n_{2/3}\) – число дней, на которые хватит остатка рулона, \(V_{2/3}\) – его объём, \(V_{1/3}\) – объём израсходованной за 40 дней бумаги. Пусть \(R\) – радиус неразмотанного рулона, \(h\) – его высота. Тогда \[V_{1/3} = \pi\left(R^2 - \left(\tfrac{2R}{3}\right)^2\right)h = \frac{5}{9}\pi R^2 h, \qquad V_{2/3} = \pi\left(\tfrac{2R}{3}\right)^2 h = \frac{4}{9}\pi R^2 h .\] Отсюда \(n_{2/3} = 40\cdot\dfrac{4}{5} = 32\) дня.