Геометрия водяного фонтана

Траектории образуют семейство кривых, параметризованных углом \(\theta\). Точка огибающей — та, в которой уравнение относительно \(\tan\theta\) имеет ровно одно решение (дискриминант обращается в ноль). В части B площадь кольца на земле выражается через \(dR\), а плотность отверстий подбирается так, чтобы компенсировать этот множитель.

Часть A. Считаем, что радиус полусферы мал по сравнению с дальностью, поэтому все струи выходят из точечного источника в центре полусферы с одинаковой начальной скоростью, но под разными углами \(\theta\). Распределение отверстий на поверхности полусферы равномерно. Рассмотрим движение по осям \(x\) и \(y\) в координатах, показанных на рис. 1.

Горизонтальное движение — без ускорения: \[x = x(t) = (v_0\cos\theta)\,t.\] Вертикальное движение — свободное падение под действием силы тяжести \(g\): \[y = y(t) = h + (v_0\sin\theta)\,t - \tfrac{1}{2}gt^2.\]

Уравнение траектории получаем исключением времени. Из первого уравнения \(t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}\); подставляя во второе, получаем \[y = h + x\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{gx^2}{2v_0^2}\,\frac{1}{\cos^2\theta} = h + x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2}\sec^2\theta.\] Используя тождество \(\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta\): \[y = h + x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2}\left(1 + \tan^2\theta\right),\] или, относительно основания полусферы, \(y' = y - h = x\tan\theta - \dfrac{gx^2}{2v_0^2}\left(1 + \tan^2\theta\right)\).

Перепишем уравнение траектории как квадратичную функцию от \(\tan\theta\): \[\frac{gx^2}{2v_0^2}\tan^2\theta - x\tan\theta + \left(y' + \frac{gx^2}{2v_0^2}\right) = 0,\] где \(y' = y - h\). Обозначим \(\tan\theta = u\) и получим \(au^2 + bu + c = 0\) с \[a = \frac{gx^2}{2v_0^2}, \qquad b = -x, \qquad c = y' + \frac{gx^2}{2v_0^2}.\] Квадратное уравнение имеет вещественное решение для \(u = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), если дискриминант неотрицателен, \(b^2 - 4ac \geq 0\): \[x^2 - 4\,\frac{gx^2}{2v_0^2}\left(y' + \frac{gx^2}{2v_0^2}\right) \geq 0.\] Отсюда \[-y' \geq \frac{gx^2}{2v_0^2} - \frac{v_0^2}{2g}, \qquad \text{или} \qquad y' \leq \frac{v_0^2}{2g} - \frac{gx^2}{2v_0^2}.\] Траектории воды удовлетворяют этому неравенству, а огибающая семейства траекторий с разными углами запуска описывается параболой \[y' = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{gx^2}{2v_0^2}, \qquad \text{или} \qquad y = h + \frac{v_0^2}{2g} - \frac{gx^2}{2v_0^2}.\] Эскиз огибающей поверх траекторий:

Для дальности полагаем \(y = 0\) в уравнении траектории: \[0 = h + R\tan\theta - \frac{gR^2}{2v_0^2}\left(1 + \tan^2\theta\right).\] Это квадратное уравнение относительно \(R\): \[\frac{g}{2v_0^2}\left(1 + \tan^2\theta\right)R^2 - (\tan\theta)\,R - h = 0,\] то есть \(a'R^2 + b'R + c' = 0\) с \[a' = \frac{g}{2v_0^2}\left(1 + \tan^2\theta\right), \qquad b' = -\tan\theta, \qquad c' = h.\]

Решение квадратного уравнения даёт \[R = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - 4a'c'}}{2a'} = \frac{\tan\theta \pm \sqrt{\tan^2\theta + 4\,\dfrac{g}{2v_0^2}\left(1+\tan^2\theta\right)h}} {\dfrac{g}{v_0^2}\left(1+\tan^2\theta\right)}.\]

При \(h = 0\): \[R = \frac{\tan\theta \pm \sqrt{\tan^2\theta}}{\dfrac{g}{v_0^2}\left(1+\tan^2\theta\right)} = \frac{2\tan\theta}{\dfrac{g}{v_0^2}\sec^2\theta} = \frac{v_0^2}{g}\,2\sin\theta\cos\theta = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta.\]

Часть B. Из выражения для \(R(\theta)\) определим \(R'(\theta) = \dfrac{dR}{d\theta}\), откуда \(dR = R'(\theta)\,d\theta\). Кольцо на земле радиуса \(R\) и ширины \(dR\) имеет площадь \[dA_W = 2\pi R\,dR = 2\pi R\,R'(\theta)\,d\theta.\] Нет необходимости выражать \(R'\) явно; ответ можно оставить через \(R'\).

Число отверстий в элементарной площади кольца на полусфере радиуса \(r\) под углом \(\theta\) с угловой шириной \(d\theta\): \[dA_H = \rho(\theta)\cdot 2\pi (r\cos\theta)\,r\,d\theta.\] Для равномерного распыления воды на земле \(dA_W \sim dA_H\): \[\rho(\theta)\cdot 2\pi (r\cos\theta)\,r\,d\theta \sim 2\pi R R'(\theta)\,d\theta.\] Чтобы выражение не зависело от угла, выбираем \[\rho(\theta) \sim \frac{R(\theta)\,R'(\theta)}{r^2\cos\theta},\] где \(R(\theta)\) и \(R'(\theta)\) даны формулами, приведёнными выше для \(R(\theta)\) и \(R'(\theta)\). Если распределение отверстий на полусфере следует этому выражению, распыление воды на земле равномерно (не зависит от угла). Условие на угол \(R'(\theta) > 0\) не меняет общего выражения.

При \(h = 0\) дальность \(R(\theta) = \dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\theta\), а \(R'(\theta) = \dfrac{2v_0^2}{g}\cos 2\theta\), поэтому \(dR = \dfrac{2v_0^2}{g}\cos 2\theta\,d\theta\). Элементарная площадь кольца на земле: \[dA_W = 2\pi\,\frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta\cdot\frac{2v_0^2}{g}\cos 2\theta\,d\theta = 2\pi\left(\frac{v_0^2}{g}\right)^2 \cdot 2\sin 2\theta\cos 2\theta\,d\theta = 2\pi\left(\frac{v_0^2}{g}\right)^2 \sin 4\theta\,d\theta.\] Таким образом, \(dA_W \propto \sin 4\theta\,d\theta\). Элемент площади на полусфере \(dA_H = \rho(\theta)\cdot 2\pi(r\cos\theta)\,r\,d\theta \sim \rho(\theta)\cos\theta\,d\theta\). Для равномерного распыления \(dA_W \propto dA_H\), то есть \[\rho(\theta)\cos\theta\,d\theta \sim \sin 4\theta\,d\theta,\] откуда \[\rho(\theta) \sim \frac{\sin(4\theta)}{\cos\theta}.\] Условие на угол (\(0^\circ < \theta \leq 45^\circ\) или \(45^\circ < \theta < 90^\circ\)) нужно лишь для того, чтобы вода не попадала дважды в одну и ту же область.