Закон Снеллиуса

A: сравните углы преломления при одном и том же угле падения и показатели преломления, которые из них следуют. B: полное внутреннее отражение должно выполняться и на входе в стержень (в точке \(A\)), и на его противоположном торце (в точке \(B\)) — из двух условий получается диапазон. C: условие полного внутреннего отражения на границе сердцевины и оболочки; при изгибе угол падения на оболочку меняется, и удобно использовать теорему синусов в треугольнике с центром изгиба.

Часть A. A.1. По закону Снеллиуса больший угол преломления соответствует большему показателю преломления, который свет «видит» внутри полусферы (\(n_x\)). Цвет с меньшим углом преломления распространяется в полусфере быстрее — это цвет \(a\).

A.2. Лучи перестают выходить через основание полусферы, когда после преломления угол равен \(90^\circ\) относительно нормали. По закону Снеллиуса \(n_x\sin\theta_i = n_2\sin 90^\circ\). Подставляя \(a\) и \(b\) вместо \(x\): для луча \(a\) (\(\theta_i = 50^\circ\)): \(n_a\sin 50^\circ = 1{,}0\cdot\sin 90^\circ\), откуда \(n_a = 1{,}305\); для луча \(b\) (\(\theta_i = 45^\circ\)): \(n_b\sin 45^\circ = 1{,}0\cdot\sin 90^\circ\), откуда \(n_b = 1{,}414\). Разность \(\Delta n = 0{,}109\).

Часть B. B.1. Заданы \(n_1 = 1{,}5\), \(n_2 = 1{,}0\), \(n_3 = 1{,}4\). Нужно выполнить два условия.

Условие 1: свет, падающий в точку \(A\), должен испытывать полное отражение. \(n_1\sin\phi_1 > n_2\sin 90^\circ\), откуда \(\phi_1 > \arcsin\dfrac{1{,}0}{1{,}5} = 41{,}81^\circ\). Значит, \(\theta_1 < 90^\circ - 41{,}81^\circ = 48{,}19^\circ\). По закону Снеллиуса на входе \[\theta < \arcsin\left(\frac{1{,}5}{1{,}4}\sin 48{,}19^\circ\right) = 53^\circ.\]

Условие 2: свет, падающий в точку \(B\), должен испытывать полное отражение. \(n_1\sin\theta_2 > n_2\sin 90^\circ\), откуда \(\theta_2 > 41{,}81^\circ\). По закону Снеллиуса \[\theta > \arcsin\left(\frac{1{,}5}{1{,}4}\sin 41{,}81^\circ\right) = 45{,}58^\circ.\] Итак, свет полностью отражается обратно в полимер при \(45{,}58^\circ < \theta < 53^\circ\).

B.2 (i). При покрытии правого торца маслом с \(n_4 = 1{,}6\) меняется условие 2: свет, падающий в точку \(B\), всегда преломляется. Полного отражения обратно в полимер нет.

B.2 (ii). При \(n_2 = 1{,}33\) (вода) меняются оба условия. Условие 1: \(\phi_1 > \arcsin\dfrac{1{,}33}{1{,}5} = 62{,}46^\circ\), откуда \(\theta_1 < 27{,}54^\circ\); по закону Снеллиуса \(\theta < \arcsin\left(\dfrac{1{,}5}{1{,}4}\sin 27{,}54^\circ\right) = 29{,}7^\circ\). Условие 2: \(\theta_2 > \arcsin\dfrac{1{,}33}{1{,}5} = 62{,}46^\circ\), откуда \(\theta > \arcsin\left(\dfrac{1{,}5}{1{,}4}\sin 62{,}46^\circ\right) = 71{,}81^\circ\). Условия не перекрываются, поэтому полного отражения обратно в полимер нет.

Часть C. C.1. Чтобы свет не преломлялся наружу из волокна, угол преломления света относительно нормали к границе «сердцевина/оболочка» должен быть \(90^\circ\). По закону Снеллиуса \[n_1\sin\phi_c = n_2\sin 90^\circ.\]

Возведём в квадрат и используем тригонометрическое тождество: \[n_1^2\sin^2\phi_c = n_2^2, \qquad n_1^2\left(1 - \cos^2\phi_c\right) = n_2^2,\] \[n_1^2\cos^2\phi_c = n_1^2 - n_2^2, \qquad\text{или}\qquad n_1^2\sin^2\theta_c = n_1^2 - n_2^2.\] Извлекая квадратный корень из (2): \[n_1\sin\theta_c = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.\] По закону Снеллиуса на торце волокна \[n_3\sin\theta_a = n_1\sin\theta_c = \sqrt{n_1^2 - n_2^2},\] откуда \[\theta_a = \arcsin\frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_3}.\]

C.2.

Для геометрии изгиба: в треугольнике \(ABC\) (центр изгиба \(C\)) по теореме синусов \[\sin\phi_c = \frac{CB}{CA}\sin(\pi - \phi'_c),\] где \(CB = 10000 - 25 = 9975\,\mu\)м и \(CA = 10000 + 25 = 10025\,\mu\)м (радиус изгиба \(1{,}0\) см, радиус сердцевины \(25\,\mu\)м). Для луча, удерживаемого в волокне в точке \(A\), \(\sin\phi_c = \dfrac{n_2}{n_1}\). Поскольку \(\sin(\pi - \phi'_c) = \sin\phi'_c\): \[\sin\phi'_c = \frac{10025\,n_2}{9975\,n_1}.\] Обозначим \(a = \dfrac{9975}{10025}\), тогда \(a\,n_1\sin\phi'_c = n_2\). Аналогично предыдущему пункту: \[a^2n_1^2\sin^2\phi'_c = n_2^2, \qquad a^2n_1^2\sin^2\theta'_c = a^2n_1^2 - n_2^2,\] \[n_1\sin\theta'_c = \frac{1}{a}\sqrt{a^2n_1^2 - n_2^2}.\] Тогда для нового угла приёма \[n_3\sin\theta'_a = n_1\sin\theta'_c = \frac{1}{a}\sqrt{a^2n_1^2 - n_2^2},\] \[\theta'_a = \arcsin\left[\frac{10025}{9975\,n_3}\sqrt{a^2n_1^2 - n_2^2}\right].\]

C.3. Для случая C.1 берём \(n_3 = 1\): \(\sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{1{,}45^2 - 1{,}44^2} = 0{,}17\), \(\theta_a = \arcsin 0{,}17 = 9{,}79^\circ\). Для случая C.2 подставляем в формулу из C.2: \(\theta'_a = \arcsin\left[\dfrac{10025}{9975}\sqrt{\left(\dfrac{9975}{10025}\right)^2 1{,}45^2 - 1{,}44^2}\right] = 5{,}15^\circ\).