Стержни и пружина в треугольнике
Два одинаковых однородных стержня длиной \(L\) и массой \(m\) одним концом закреплены на оси (см. рис.). Их свободные концы связаны невесомой пружиной. В состоянии равновесия стержни и пружина образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Когда, действуя на левый стержень, треугольник повернули вправо так, что правый стержень принял горизонтальное положение, равновесный угол между стержнями составил \(60^\circ\). Определите жёсткость пружины. При сжатии ось пружины не изгибается. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите баланс моментов сил относительно оси в двух положениях стержней: для каждого положения найдите плечи силы тяжести и силы упругости пружины. Неизвестную недеформированную длину пружины исключите из двух уравнений.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(k=\dfrac{mg\,(2-\sqrt3)}{2\sqrt3\,(\sqrt2-1)\,L}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеВ первом случае (стержни образуют прямоугольный треугольник) равновесие правого стержня обеспечивается балансом моментов силы тяжести и силы упругости пружины. Плечо силы тяжести \(BC=\dfrac{L}{2\sqrt2}\), плечо силы упругости \(OA=\dfrac{L}{\sqrt2}\). Пусть длина недеформированной пружины \(L_0\), жёсткость \(k\); баланс моментов: \(\dfrac{mgL}{2\sqrt2}=\dfrac{k(L_0-L\sqrt2)L}{\sqrt2}\).
Во втором случае плечо силы тяжести \(OC=\dfrac{L}{2}\), плечо силы упругости пружины \(OA=\dfrac{L\sqrt3}{2}\), баланс моментов: \(\dfrac{mgL}{2}=\dfrac{k(L_0-L)L\sqrt3}{2}\).
Исключая из последних уравнений \(L_0\), получаем ответ: \(k=\dfrac{mg\,(2-\sqrt3)}{2\sqrt3\,(\sqrt2-1)\,L}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Высота кирпичной стены Савченко, №2.8.3
- Три нити через стол Савченко, №2.8.4
- Два груза на цилиндре Савченко, №2.8.5
- Грузы на проволочном треугольнике Савченко, №2.8.6
- Груз на середине пружины Савченко, №2.8.8
- Натяжение цепочки Савченко, №2.8.9