Кабошоны

Радиус кривизны в вершине удобно получить из длины дуги и диаметра сечения. Для показателя преломления используйте формулу тонкой линзы для плоско-выпуклого кабошона.

1. Радиус кривизны найдём, измерив длину дуги \(l\) методом прокатывания и диаметр \(d=2r\) кабошона штангенциркулем вдоль одного из двух взаимно перпендикулярных направлений. Для дуги \(l=R\alpha\) и \(\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{r}{R}\), откуда \[\sin\!\Bigl(\kappa\frac{l}{2}\Bigr)=\kappa\frac{d}{2},\qquad \kappa=\frac{1}{R}.\] Нелинейное уравнение решается итерациями: \(\kappa=\dfrac{2}{d}\sin\!\bigl(\kappa\dfrac{l}{2}\bigr)\). Альтернативно: \(R=\dfrac{h^2+r^2}{2h}\), где \(h=H-h_0\) — высота искривлённой части кабошона (\(H\) — полная толщина, \(h_0\) — толщина неискривлённой части). Тогда \(K=\kappa_1\kappa_2\) по обоим главным направлениям.

2. Для тонкой линзы \(\dfrac{1}{F}=\Bigl(\dfrac{n_2}{n_1}-1\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_0}\Bigr)\). Кабошон плоско-выпуклый, \(R_0\to\infty\), поэтому \(\dfrac{1}{F}=(n-1)\dfrac{1}{R_1}\). Фокусное расстояние находится из \(\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}\), где \(d\) — расстояние от фонарика до кабошона, \(f\) — до изображения. Отсюда \[n=R_1\Bigl(\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\Bigr)+1 .\] Для каждого из радиусов \(R_1\) и \(R_2\) получаем своё \(n_1\) и \(n_2\); ответ — \(n=\dfrac{n_1+n_2}{2}\).