Задачи › Плавление и кристаллизация

Холодильник

  1. Холодильник

    ВсОШ 2022/23, 9 кл.
    6/10

    В тонкостенном цилиндрическом сосуде внутреннего радиуса \(R\) под поршнем находится столб воды высотой \(h_1\) при температуре \(t_0 = 0\ {}^\circ\text{С}\). Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды \(N = \alpha\cdot S\Delta t\), где \(\alpha\) известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором равна \(t_1 < 0\ {}^\circ\text{С}\). Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лёд, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лёд не всплывает над поверхностью воды, а упирается в поршень, будучи полностью погружённым в воду, время от времени отрываясь от стенок сосуда. Удельная теплота плавления льда \(\lambda\), плотности воды \(\rho_\text{в}\), плотность льда \(\rho_\text{л}\).

    1. Определите в какую сторону и с какой скоростью \(v\) перемещается поршень.

    2. Найдите в течение какого промежутка времени \(\tau_{\max}\) продолжается такое движение.

    3. Установите зависимость температуры \(t\) в холодильнике от времени \(\tau\) в промежутке времени \([0,\ \tau_{\max}]\). Выразите её через \(h_1\), \(t_0\), \(t_1\), \(v\), \(\tau\).

    4. Найдите температуру в момент времени \(\tau_{\max}\). Выразите через \(t_0\), \(t_1\), \(\rho_\text{в}\), \(\rho_\text{л}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Скорость поршня определяется скоростью кристаллизации, а она — мощностью теплоотдачи через боковую поверхность, смоченную водой под поршнем. Вся эта поверхность растёт вместе с высотой столба, поэтому постоянство скорости означает постоянство произведения \(h(t_0 - t)\).

    Ответ

    1) вверх, \(v = \dfrac{2\alpha(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})}{\lambda\rho_\text{в}\rho_\text{л}R}\,h_1(t_0 - t_1)\);  2) \(\tau_{\max} = \dfrac{\lambda\rho_\text{в}R}{2\alpha(t_0 - t_1)}\);  3) \(t = t_0 - (t_0 - t_1)\dfrac{h_1}{h_1 + v\tau}\);  4) \(t_\text{к} = t_0 - (t_0 - t_1)\dfrac{\rho_\text{л}}{\rho_\text{в}}\).

    Решение

    1. Пусть \(N\) — мощность тепловых потерь. Благодаря ему за малое время \(\Delta\tau\) кристаллизуется \(\Delta m\) льда: \[N\Delta\tau = \Delta m\lambda.\] В жидком состоянии эта масса занимала объём \(\Delta V_\text{в}\), а в твёрдом \(\Delta V_\text{л}\): \[\Delta m = \rho_\text{в}\Delta V_\text{в} = \rho_\text{л}\Delta V_\text{л}.\] Следовательно, изменение объёма содержимого благодаря кристаллизации \(\Delta m\) льда \[\Delta V = \Delta V_\text{л} - \Delta V_\text{в} = \frac{\Delta m}{\rho_\text{л}} - \frac{\Delta m}{\rho_\text{в}} = \Delta m\frac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{в}\rho_\text{л}} > 0.\] То есть поршень поднялся вверх. Мощность тепловых потерь через боковую поверхность цилиндра пропорциональна площади этой поверхности и разности температур воды и окружающей среды: \[N = \alpha\cdot h\cdot 2\pi R(t_0 - t).\] Скорость подъёма поршня \[v = \frac{\Delta h}{\Delta\tau} = \frac{\Delta V}{\pi R^2\Delta\tau} = \frac{\Delta m(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})}{\Delta\tau\rho_\text{в}\rho_\text{л}\pi R^2} = \frac{N(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})}{\lambda\rho_\text{в}\rho_\text{л}\pi R^2} = \frac{2\alpha(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})}{\lambda\rho_\text{в}\rho_\text{л}R}\cdot h(t_0 - t).\] Так как скорость постоянна, используем выражение для неё в начальный момент времени \(v = C\cdot h(t_0 - t) = C\cdot h_1(t_0 - t_1)\). Следовательно: \[v = \frac{2\alpha(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})}{\lambda\rho_\text{в}\rho_\text{л}R}\cdot h_1(t_0 - t_1).\]

    2. Равномерное движение поршня может продолжаться вплоть до кристаллизации всей воды. Максимальное изменение объёма системы \[\Delta V_0 = \Delta m_0\frac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{в}\rho_\text{л}} = \pi R^2 h_1\frac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{л}}.\] Искомая продолжительность процесса \[\tau_{\max} = \frac{\Delta V_0}{\pi R^2 v} = \frac{\lambda\rho_\text{в}R}{2\alpha(t_0 - t_1)}.\]

    3. Из условий \(h(t_0 - t) = h_1(t_0 - t_1)\) и \(h(\tau) = h_1 + v\tau\) можно получить искомую зависимость \[t = t_0 - (t_0 - t_1)\frac{h_1}{h_1 + v\tau}.\]

    4. Подставим выражение для \(\tau_{\max}\) в закон изменения температуры и найдём её значение в конечный момент времени: \[t_\text{к} = t_0 - (t_0 - t_1)\frac{\rho_\text{л}}{\rho_\text{в}}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх