Ускорение иона и радиус траектории

В задаче происходят последовательно два события: вылетевший из источника ион ускоряется разностью потенциалов \(U\) до скорости \(\upsilon\) (начальная скорость по условию равна 0); движение разогнанного иона в магнитном поле по окружности под действием силы Лоренца.

Для описания первого события используем теорему о кинетической энергии: работа сил изменяет кинетическую энергию на величину этой работы: \(A = \dfrac{m\upsilon^2}{2}\). В данном случае \(A\) — это работа электрических сил по разгону иона от 0 до \(\upsilon\): \(qU = \dfrac{m\upsilon^2}{2}\) (1).

Можно было бы уже найти \(U\), но неизвестна конечная скорость \(\upsilon\), одно уравнение с двумя неизвестными не может быть решено. Нужно второе уравнение. Для составления второго уравнения используем вращение иона в магнитном поле. По второму закону Ньютона (\(F = ma_{\text{цс}}\)): \(F_л = \dfrac{m\upsilon^2}{R}\). Или: \(q\upsilon B = \dfrac{m\upsilon^2}{R}\), откуда нужная нам скорость: \(\upsilon = \dfrac{qBR}{m}\) (2).

Подставим (2) в (1): \(U = \dfrac{m\upsilon^2}{2q} = \dfrac{m}{2q}\left(\dfrac{qBR}{m}\right)^2 = \dfrac{qB^2R^2}{2m} = \dfrac{2\cdot 10^6 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}04}{2} = 10\,000\) В.

Ответ: \(U = 10\) кВ.