Полёт

Горизонтальная проекция скорости без сопротивления постоянна, а вертикальная меняется по закону \(v_y = v_{y0} - gt\). Запишите модуль скорости в моменты \(\tau\) и \(2\tau\).

Пусть \(v_{x0}\) — проекция скорости камня в начальный момент на горизонтальную ось, а \(v_{y0}\) — на вертикальную. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то проекция скорости на горизонтальную ось сохраняется, а проекция на вертикальную ось меняется по закону \(v_y(t) = v_{y0} - gt\). Модуль скорости в любой момент \[v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_{x0}^2 + (v_{y0} - gt)^2} .\] По условию \[\sqrt{v_{x0}^2 + (v_{y0} - g\tau)^2} = \alpha\sqrt{v_{x0}^2 + v_{y0}^2}, \qquad \sqrt{v_{x0}^2 + (v_{y0} - 2g\tau)^2} = \beta\sqrt{v_{x0}^2 + v_{y0}^2} .\] Решая эту систему, найдём \(v_{x0} \approx 10{,}53\) м/с и \(v_{y0} \approx 10{,}85\) м/с. Время полёта \[T = \dfrac{2v_{y0}}{g} \approx 2{,}21~\text{с},\] расстояние от места броска до места падения \[S = v_{x0}T \approx 23{,}3~\text{м}.\]