Постоянная планка

Удобно записать правила моментов относительно точек, лежащих на линиях действия сил натяжения верхних нитей: тогда в уравнения не войдут две неизвестные силы.

Равновесие возможно, если существуют отличные от нуля силы реакции грузов и планки и силы натяжения нитей. Для нахождения сил натяжения рассмотрим только внешние силы, действующие на систему грузы+блоки+планка. Правила моментов относительно точек \(O_1\) и \(O_2\), лежащих на линиях действия сил натяжения верхних нитей (рис. 12), имеют вид: \[Mgx + 2T_2\cdot 6x = 2mg\cdot 3x + mg\cdot 7x \quad \text{(относительно }O_1\text{)},\] \[mgx + 2T_1\cdot 6x = 2mg\cdot 3x + Mg\cdot 7x \quad \text{(относительно }O_2\text{)}.\]

Откуда \[T_1 = \dfrac{5m+7M}{12}\,g, \qquad T_2 = \dfrac{13m-M}{12}\,g .\] Видно, что левая нить не провисает при любых массах \(M\), а правая натянута при \(M < 13m\). Запишем условия равновесия для каждого из грузов в отдельности: \[Mg = T_1 + N_1, \qquad mg = T_2 + N_2 .\] Откуда с учётом выражений для сил натяжения силы реакции равны: \(N_1 = 5(M-m)g/12\) и \(N_2 = (M-m)g/12\). Положительные значения сил реакции будут только при \(M > m\).

Окончательно, равновесие системы возможно для \(m \le M < 13m\).