Цепочка из 2018 стержней

Для каждого стержня, начиная с правого, запишите равенство нулю моментов сил относительно точки крепления нити к предыдущему стержню или к потолку.

На самый правый стержень действует сила тяжести и две силы натяжения. Из симметрии задачи очевидно, что последние одинаковы. Поэтому \[T_1 = \frac{mg}{2}.\]

Из условия равенства нулю моментов сил, действующих на второй стержень относительно правой нити, получим (чтобы не загромождать рисунок, сила натяжения правой нити на рисунке не показана) \[T_2 l = mg\frac{l}{2} + \frac{mg}{2}\cdot\frac{l}{5} = \frac{mgl}{2}\left(1 + \frac{1}{5}\right).\] Отсюда находим \[T_2 = \frac{mg}{2}\left(1 + \frac{1}{5}\right).\]

Условие равенства нулю моментов сил, действующих на третий стержень (относительно его правого конца), дает \[T_3 l = mg\frac{l}{2} + T_2\frac{l}{5} = \frac{mgl}{2}\left(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25}\right).\] Теперь ясна и дальнейшая структура формул. Сила натяжения левой нити, привязанной к \(n\)-му стержню, определяется суммой конечной геометрической прогрессии \[T_n = \frac{mg}{2}\left(1 + \left(\frac{1}{5}\right)^1 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{5}\right)^n\right).\] Используя формулу суммы прогрессии и учитывая, что \((1/5)^{2018}\) — чудовищно малое число, получим \[T_{2018} = \frac{mg}{2}\cdot\frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{2018}}{1 - \frac{1}{5}} \approx \frac{5mg}{8} = 6{,}25~\text{Н}.\]