Тепловой двигатель из двух тел

Температуры тел в процессе работы меняются, так как их теплоёмкости конечны. Рассмотрите малый цикл Карно и найдите величину, которая при этом не меняется.

Обычно, когда рассматривают принципы работы тепловой машины, считают, что температуры нагревателя и холодильника в процессе отдачи или получения тепла не изменяются. Это верно для бесконечно больших теплоемкостей нагревателя и холодильника. Если же теплоемкости этих тел конечны, необходимо учитывать, что их температуры в процессе работы машины будут изменяться. Очевидно, что в конце концов температуры нагревателя и холодильника сравняются.

Пусть в какой-то момент времени температура нагревателя равна \(T_1\), холодильника — \(T_2\). Поскольку нужно найти минимальную температуру тел, необходимо «увести» из системы максимальную работу. Поэтому проведем на этих телах цикл Карно. Возьмем малое количество теплоты \(\delta Q\) у нагревателя (чтобы его температура практически не изменилась). КПД цикла Карно равен \[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}, \qquad (1)\] тогда работа двигателя составит \(\delta A = \eta\,\delta Q = \delta Q - \dfrac{T_2}{T_1}\delta Q\) (2). Поэтому более холодному телу будет передано количество теплоты \[\delta Q_1 = \delta Q - \delta A = \frac{T_2}{T_1}\delta Q. \qquad (3)\] Таким образом, тепловой баланс в системе тел с учетом «ухода» механической работы выглядит так: если горячее тело отдает количество теплоты \(\delta Q\), холодное получает количество теплоты \(\delta Q_1\) (3).

Найдем теперь, как изменятся температуры тел после осуществления рассмотренного процесса. Так как нагреватель отдает количество теплоты \(\delta Q\), его температура уменьшится на величину \(\delta Q / C\) (\(C\) — теплоемкость нагревателя) и составит \[T_1' = T_1 - \frac{\delta Q}{C}. \qquad (4)\] Температура холодильника возрастет на величину \(\delta Q_1 / 2C\) (\(2C\) — теплоемкость холодильника) и составит \[T_2' = T_2 + \frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{\delta Q}{2C}. \qquad (5)\] Возводя уравнение (5) в квадрат и учитывая, что \(\delta Q\) — малая величина, и потому слагаемое, содержащее \(\delta Q^2\), является малым и им можно пренебречь, получим \[\left(T_2'\right)^2 \approx T_2^2 + \frac{T_2^2}{T_1}\cdot\frac{\delta Q}{C}. \qquad (6)\] Перемножим теперь почленно формулы (4) и (6). Имеем \[T_1'\left(T_2'\right)^2 \approx T_1 T_2^2. \qquad (7)\] Равенство (7) означает, что в рассмотренном процессе не меняется произведение температуры нагревателя на квадрат температуры холодильника. А поскольку этот результат будет иметь место при любых температурах тел, то он будет иметь место и для конечной температуры нагревателя и холодильника \(T_x\): \[3T\cdot T^2 = T_x\cdot T_x^2 = T_x^3 \quad\Rightarrow\quad T_x = \sqrt[3]{3}\,T \approx 1{,}442\,T. \qquad (8)\] Таким образом, в результате работы рассмотренной тепловой машины в течение длительного времени температуры нагревателя и холодильника сравняются и станут равными величине (8).

Если бы энергия не уходила из системы, то в результате теплообмена между нагревателем и холодильником их температуры также сравнялись бы, но установившаяся температура была бы больше величины (8). Установившуюся в этом случае температуру тел \(T_y\) можно найти из «обычного» уравнения теплового баланса: \[C\left(3T - T_y\right) = 2C\left(T_y - T\right). \qquad (9)\] Из формулы (9) получаем \[T_y = \frac{5}{3}T \approx 1{,}667\,T. \qquad (10)\] Энергия, связанная с разностью установившихся температур \(T_y - T_x\), и есть полная механическая работа, совершенная двигателем до того момента, как температуры нагревателя и холодильника сравняются. Поскольку суммарная теплоемкость тел равна \(3C\), эта работа равна \[A = 3C\left(T_y - T_x\right) = CT\left(5 - 3\sqrt[3]{3}\right) = 0{,}675\,CT.\]