Камни на колёсах велосипеда

Колёса вращаются с одинаковой угловой скоростью. Нарисуйте радиус-вектор второго камня относительно первого как сумму вектора между центрами колёс и вектора, поворачивающегося вместе с колёсами.

Поскольку колеса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями \(\omega\), которые определяются соотношением \[\omega = \frac{v}{R}, \qquad (1)\] где \(v\) — скорость велосипеда, \(R\) — радиус колеса. Поэтому угол между радиусами-векторами камней \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) относительно центров колес в любой момент времени составляет \(90^\circ\) (см. рисунок 1).

Радиус-вектор второго камня относительно первого \(\vec r_{21}\) можно найти из очевидного векторного равенства \[\vec r_{21} = \vec r_0 + \vec r_2 - \vec r_1, \qquad (2)\] где \(\vec r_0\) — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Так как угол между векторами \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) всегда равен \(90^\circ\), то вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) имеет длину \(\sqrt{2}R\) и вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости колес. Таким образом, радиус-вектор второго камня относительно первого можно найти как сумму вектора \(\vec r_0\) и вектора, имеющего длину \(\sqrt{2}R\) и вращающегося с угловой скоростью (1). Сложение этих векторов показано на рисунке 2, причем концы векторов \(\vec r_2 - \vec r_1\) и \(\vec r_{21}\) лежат на окружности радиуса \(\sqrt{2}R\) с центром в конце вектора \(\vec r_0\).

Из рисунка 2 следует, что минимальную длину вектор \(\vec r_{21}\) (2) имеет в тот момент времени, когда вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) направлен противоположно вектору \(\vec r_0\), максимальную — когда вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) направлен так же, как и вектор \(\vec r_0\). Поэтому \[r_{21}^{\min} = 3R - \sqrt{2}R = R\left(3 - \sqrt{2}\right); \qquad r_{21}^{\max} = 3R + \sqrt{2}R = R\left(3 + \sqrt{2}\right).\] Вычитание векторов \(\vec r_2 - \vec r_1\), отвечающее этим двум случаям, показано на рисунках 3а и 3б соответственно.

Поэтому длина вектора \(\vec r_{21}\) будет минимальна, когда вектор \(\vec r_2\) повернется на угол \(5\pi/4\), а максимальна — на угол \(\pi/4\) по сравнению с начальным положением. Отсюда находим моменты времени, когда расстояние между камнями достигает минимального и максимального значения: \[t^{\min} = \frac{5\pi}{4\omega} = \frac{5\pi R}{4v}, \qquad t^{\max} = \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi R}{4v}.\]