Столкновение двух тел

Выберите ось с началом в точке бросания нижнего тела, запишите координаты обоих тел как функции времени и приравняйте их. Не забудьте проверить, успевают ли тела долететь до земли.

Выберем направление вертикальной оси \(x\) вверх, а начало координат — в точке, откуда бросили нижнее тело. Тогда координаты обоих тел во время полёта (до падения на землю): \[x_{\text{ниж.}}(t) = n v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}, \qquad x_{\text{верх.}}(t) = h + v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}.\] Найдём время столкновения из условия \(x_{\text{ниж.}}(\tau_{\text{столк}}) = x_{\text{верх.}}(\tau_{\text{столк}})\): \[n v_0 \tau_{\text{столк}} - \dfrac{g\tau_{\text{столк}}^2}{2} = h + v_0 \tau_{\text{столк}} - \dfrac{g\tau_{\text{столк}}^2}{2},\] откуда \[\tau_{\text{столк}} = \dfrac{h}{(n-1)v_0}.\] При выбранном начале координат (в точке бросания нижнего тела) расстояние \(L\) от точки бросания нижнего тела до точки столкновения тел находится из выражения \[L = \bigl|x_{\text{ниж.}}(\tau_{\text{столк}})\bigr| = \left|\dfrac{h}{(n-1)}\left[n - \dfrac{gh}{2(n-1)v_0^2}\right]\right| = \left|\dfrac{100}{1}\left[2 - \dfrac{10\cdot 100}{2\cdot 1\cdot 100}\right]\right| = |{-300}|~\text{м} = 300~\text{м}.\] Полученный ответ для \(L\) говорит о том, что оба тела столкнутся в воздухе (\(L < H = 600\) м), на 300 м ниже точки бросания нижнего тела.

Время столкновения тел: \[\tau_{\text{столк}} = \dfrac{h}{(n-1)v_0} = \dfrac{100}{1\cdot 10} = 10~\text{с}.\]