Над пропастью держись

В каждый момент канатоходец находится в равновесии: его вес уравновешивается натяжениями двух частей жгута. Сравните горизонтальные составляющие натяжения и выразите удлинения через \(x\) и \(L-x\).

Пусть натяжение правой части жгута \(T_1\) и левой \(T_2\); в проекции на горизонталь \(T_1\cos\alpha = T_2\cos\beta\). Жёсткости правой и левой частей обозначим \(k_1\) и \(k_2\), их растянутые длины \(\ell_1\) и \(\ell_2\). Тогда \(T_1\cos\alpha = k_1 x\) и \(T_2\cos\beta = k_2 (L-x)\), откуда \(k_1 x = k_2 (L-x)\). Это равенство верно и при \(m = 0\), когда натяжение жгута равно \(T = kL\), поэтому \(k_1 x = k_2(L-x) = kL\).

В проекции на вертикаль \(mg = T_1\sin\alpha + T_2\sin\beta = (k_1+k_2)h\). Выражая \(k_1 = \dfrac{kL}{x}\) и \(k_2 = \dfrac{kL}{L-x}\), получаем \[h = \frac{mg}{k_1+k_2} = \frac{mg\,x(L-x)}{kL^2}.\]