Нагреватель, найденный в ванне

Нагреватель включается при \(T_1\) и работает \(60\) с, затем \(80\) с остывает обратно до \(T_1\). Запишите баланс мощностей за оба промежутка и сравните с мощностью, при которой без термодатчика установится постоянная температура.

В установившемся режиме нагреватель включается, когда температура воды равна \(T_1\), и работает \(t_\text{нагр} = 60\) с, затем выключен \(t_\text{ост} = 80\) с, пока вода остывает обратно до \(T_1\). Мощность теплопотерь \(P_\text{пот} = \alpha(T-T_0)\) за время цикла почти не меняется, так как колебания температуры малы по сравнению с \(T_1-T_0\), и её можно считать равной значению при \(T_1\).

Баланс тепла за включённый и выключенный промежуток даёт \((P-P_\text{пот})\,t_\text{нагр} = P_\text{пот}\,t_\text{ост}\), откуда \[\frac{P}{P_\text{пот}} = 1 + \frac{t_\text{ост}}{t_\text{нагр}} = 1+\frac{80}{60} = \frac{7}{3}.\] Пусть без термодатчика нагреватель поддерживает температуру \(T_3\). Тогда \(P = \alpha(T_3-T_0)\) и \(P = \dfrac{7}{3}\alpha(T_1-T_0)\). Приравнивая, получаем \[T_3 = \frac{7T_1 - 4T_0}{3} = 55^\circ\text{C}.\]