Полусферический конденсатор

Подсказка

Сила от элемента полусферы на заряд в центре, спроецированная на ось, пропорциональна проекции площади элемента на основание. Поле в узком зазоре — как в плоском конденсаторе, плюс поле самого заряда \(q\). Энергию удобно найти как работу источника по графику \(U(Q)\).

Решение

1. Сила взаимодействия заряда и полусферы направлена вдоль оси вращения. Пусть \(\alpha\) — угол между осью вращения и линией, проведённый из центра полусферы в её некоторую точку, а \(\mathrm{d}S\) — малый элемент поверхности полусферы вблизи данной точки. Тогда получим:

\[\mathrm{d}F_y = \mathrm{d}F\cos\alpha = q\cdot\frac{\sigma\,\mathrm{d}S}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\cos\alpha = \frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\mathrm{d}S\cos\alpha.\] Далее возможны два варианта рассуждений.

Первое решение: Величина \(\mathrm{d}S\cos\alpha\) представляет собой проекцию элемента площади \(\mathrm{d}S\) на основание. Поскольку величина \(r\) постоянна, суммирование проводится следующим образом: \[F = \frac{q\sigma\sum\mathrm{d}S\cos\alpha}{4\pi\varepsilon_0r^2},\] где \(\sum\mathrm{d}S\cos\alpha = \pi r^2\) — площадь круга в основании полусферы.

Подставляя, находим: \[F = \frac{q\sigma}{4\varepsilon_0}.\]

Второе решение: Рассмотрим взаимодействие заряда с тонкой кольцевой полоской. Для её площади \(\mathrm{d}S\) имеем: \[\mathrm{d}S = 2\pi R\,\mathrm{d}l,\] где \(R = r\sin\alpha\) — радиус полоски, а \(\mathrm{d}l = r\,\mathrm{d}\alpha\) — её ширина.

Отсюда: \[\mathrm{d}F_y = 2\pi R\,\mathrm{d}l\cdot\frac{q\sigma\cos\alpha}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{q\sigma\sin\alpha\cos\alpha\,\mathrm{d}\alpha}{2\varepsilon_0}.\] Учитывая, что \(\cos\alpha\,\mathrm{d}\alpha = \mathrm{d}(\sin\alpha) = \mathrm{d}t\), получим: \[F_y = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}\int\limits_0^1 t\,\mathrm{d}t.\] Интегрируя, находим: \[F = \frac{q\sigma}{4\varepsilon_0}.\]

2. Определим заряд \(Q\) на полусферах при напряжении источника \(U\). Поскольку \(d \ll R\) — электрическое поле заряда \(q\) в зазоре между полусферами можно считать постоянным по модулю и равным \(E_q = q/(4\pi\varepsilon_0R^2)\). Тогда напряжение, создаваемое зарядами полусфер, равно: \[U_Q = U - U_q = U - \frac{qd}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\] Обратим внимание, что эта величина также постоянна. Опишем два способа определения электрического поля \(E_\text{заз}\) в зазоре:

Первое решение: Мысленно достроим полусферы до сфер, равномерно заряженных по поверхности одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами \(\pm 2Q\).

Тогда внутри сферы радиусом \(R\) электрическое поле равняется нулю во всех точках, а в зазоре между ними электрическое поле равняется: \[E_\text{заз} = \frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\] Поскольку \(d \ll R\) — создаваемое добавленными полусферами электрическое поле пренебрежимо мало по сравнению с полным электрическим полем \(E_\text{заз}\), поскольку при достаточно больших расстояниях от краёв эти полусферы ведут себя как одна с нулевым суммарным зарядом.

Второе решение: Поскольку радиусы сфер велики по сравнению с толщиной в зазоре и поскольку суммарный заряд системы равен нулю — электрическое поле в зазоре между полусферами с хорошей точностью можно приблизить электрическим полем внутри плоского конденсатора, поскольку поверхностные плотности заряда на полусферах по модулю практически совпадают. Отсюда: \[E_\text{заз} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{2\pi R^2\varepsilon_0}.\]

Воспользовавшись выражением для электрического поля в зазоре, получим: \[U_Q = \frac{Qd}{2\pi\varepsilon_0R^2} = U - \frac{qd}{4\pi\varepsilon_0R^2},\] откуда находим: \[Q = \frac{2\pi\varepsilon_0R^2U}{d} - \frac q2.\]

3. Поскольку заряды полусфер равны \(\pm Q\), а их площади равны соответственно \(2\pi R^2\) и \(2\pi(R + d)^2\), для силы \(F\) электростатического взаимодействия заряда \(q\) с полусферами находим: \[F = \frac{qQ}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R + d)^2}\right) = \frac{qQ}{8\pi\varepsilon_0R^2}\left(1 - \left(1 + \frac dR\right)^{-2}\right) \approx \frac{qQd}{4\pi\varepsilon_0R^3}.\] В момент начала движения \(F = mg\), откуда находим заряд \(Q_\text{max}\), при котором заряд \(q\) начинает движение: \[Q_\text{max} = \frac{4\pi\varepsilon_0R^3mg}{qd}.\] Подставляя связь \(Q\) и \(U\), для напряжения \(U_\text{max}\) получим: \[U_\text{max} = \frac{qd}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(1 + \frac{8\pi\varepsilon_0R^3mg}{q^2d}\right).\]

4. Для определения изменения электростатической энергии системы можно использовать два подхода — закон изменения энергии и вычисление её каждой компоненты.

Первое решение: Поскольку напряжение \(U\) между обкладками изменяется медленно, изменение электростатической энергии системы \(\Delta W\) равняется работе источника по перемещению зарядов между обкладками.

Для её определения построим график зависимости \(U(Q)\). При нулевом напряжении на источнике заряды на полусферах равны \(\mp q/2\). Работа источника равна площади под этим графиком при изменении заряда полусфер от величины \(-q/2\) до величины \(Q_\text{max}\). Эта площадь, в свою очередь, равна площади треугольника со сторонами \(U_\text{max}\) и \(Q_\text{max} + q/2\).

Таким образом: \[A_\text{ист} = \frac{U_\text{max}}{2}\left(Q_\text{max} + \frac q2\right),\] и окончательно: \[\Delta W = \frac{q^2d}{16\pi\varepsilon_0R^2}\left(1 + \frac{8\pi\varepsilon_0R^3mg}{q^2d}\right)^2.\]

Второе решение: Электростатическая энергия системы складывается из энергии взаимодействия \(W_C\) полусфер друг с другом и энергии взаимодействия \(W_q\) полусфер с зарядом \(q\).

Выражение для энергии полусфер совпадает с выражением для энергии конденсатора: \[W_C = \frac{Q^2}{2C} \qquad C = \frac{2\pi\varepsilon_0R^2}{d}.\] Энергия \(W_1\) взаимодействия одной полусферы с зарядом \(Q\) и радиусом \(r\) с точечным зарядом \(q\), расположенным в её центре, равна: \[W_1(r) = Q\varphi_q(r) = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r},\] откуда: \[W_q = W_1(R) - W_1(R + d) = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1R - \frac{1}{R + d}\right) \approx \frac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\] Тогда выражение для электростатической энергии системы \(W\): \[W = W_C + W_q = \frac{Q^2d}{4\pi\varepsilon_0R^2} + \frac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0R^2} = \frac{Q(Q + q)d}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\] Подставляя связь \(U\) и \(Q\), находим: \[W = \frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{2\pi\varepsilon_0R^2U}{d}\right)^2 - \left(\frac q2\right)^2\right).\]

Таким образом, выражение для изменения электростатической энергии системы следующее: \[\Delta W = \frac{q^2d}{16\pi\varepsilon_0R^2}\left(1 + \frac{8\pi\varepsilon_0R^3mg}{q^2d}\right)^2.\]

Третье решение: Рассмотрим произвольную систему точечных зарядов. Пусть \(q_i\) — точечный заряд с номером \(i\), а \(\varphi_i\) — потенциал, создаваемый остальными зарядами в месте расположения заряда \(q_i\). Тогда потенциальная энергия \(i\)-го заряда в поле остальных равняется: \[W_i = q_i\varphi_i.\] Если просуммировать величины \(W_i\), то полученная сумма будет равна удвоенной электростатической энергии системы \(2W\), поскольку в данной сумме каждое взаимодействие учитывается два раза. Таким образом: \[W = \sum_i\frac{q_i\varphi_i}{2}.\] Применяя последнее соотношение, получим: \[W = \frac{\varphi_+Q}{2} + \frac{\varphi_-(-Q)}{2} + \frac{\varphi_qq}{2},\] где \(\varphi_+\) и \(\varphi_-\) — потенциалы на поверхностях полусфер с зарядами \(Q\) и \(-Q\) соответственно, а \(\varphi_q\) — потенциал поля полусфер в их центре.

Имеем: \[W = \frac{UQ}{2} + \frac q2\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} - \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(R + d)}\right) \approx \frac{UQ}{2} + \frac{qQd}{8\pi\varepsilon_0R^2}.\] Подставляя связь \(Q\) и \(U\), находим: \[W = \frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{2\pi\varepsilon_0R^2U}{d}\right)^2 - \left(\frac q2\right)^2\right).\] Тогда для изменения электростатической энергии имеем: \[\Delta W = \frac{q^2d}{16\pi\varepsilon_0R^2}\left(1 + \frac{8\pi\varepsilon_0R^3mg}{q^2d}\right)^2.\]