Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Груз над водой, груз в воде

  1. Груз над водой, груз в воде

    ВсОШ 2025/26, 9 кл.
    3/10

    Однородная доска длиной \(L = 1{,}20\text{ м}\) с прямоугольным сечением площадью \(S = 24\text{ см}^2\) уравновешена горизонтально на единственной опоре. Точка опоры находится на расстоянии \(0{,}4L\) от левого конца доски. К доске на расстоянии \(0{,}2L\) от того же конца подвешен алюминиевый груз. Плотности древесины и алюминия равны соответственно \(\rho_{\text{д}} = 750\text{ кг/м}^3\) и \(\rho_{\text{ал}} = 2700\text{ кг/м}^3\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\text{ м/с}^2\).

    1. Найдите массу доски \(M\). Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла)

    2. Определите массу груза \(m\), при которой система находится в равновесии. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла)

    3. Найдите силу реакции опоры \(N_0\) в этом положении. Ответ выразите в Н, округлив до десятых долей. (2 балла)

    4. Груз полностью погружают в воду плотностью \(\rho_{\text{в}} = 1000\text{ кг/м}^3\), при этом точку его подвеса смещают на расстояние \(\Delta x\), чтобы доска осталась в горизонтальном положении равновесия. Точка опоры не меняется. Определите расстояние \(\Delta x\). Ответ выразите в м, округлив до сотых долей. (2 балла)

    5. Найдите отношение силы реакции опоры \(N_1\) в новом состоянии равновесия к её значению \(N_0\) в первоначальном состоянии, \(\dfrac{N_1}{N_0}\). Ответ округлите до тысячных долей. (2 балла)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите правило моментов относительно опоры. Плечо силы тяжести доски равно расстоянию от её центра масс до опоры; после погружения на груз действуют сила Архимеда и сила натяжения нити.

    Ответ

    1) \(M = 2{,}16\text{ кг}\);  2) \(m = 1{,}08\text{ кг}\);  3) \(N_0 = 32{,}4\text{ Н}\);  4) \(\Delta x = 0{,}14\text{ м}\);  5) \(\dfrac{N_1}{N_0} = 0{,}877\).

    Решение

    Доска однородна, её масса \(M = \rho_{\text{д}} S L\). Центр масс доски находится в точке \(L/2\). Плечи сил относительно опоры: \(d_{\text{р}} = \left|\dfrac{L}{2} - x_{\text{оп}}\right|\) (для доски), \(d_{\text{г}} = |x_{\text{оп}} - x_{\text{г}}|\) (для груза).

    В воздухе. Масса доски \(M = \rho_{\text{д}} S L = 750 \cdot 24\cdot10^{-4} \cdot 1{,}20 = 2{,}16\text{ кг}\). Правило моментов \(m\,d_{\text{г}} = M\,d_{\text{р}}\) даёт массу груза: \(m = M\dfrac{d_{\text{р}}}{d_{\text{г}}} = 2{,}16\cdot\dfrac{0{,}12}{0{,}24} = 1{,}08\text{ кг}\). Реакция опоры \(N_0 = (M+m)g = 3{,}24\cdot 10 = 32{,}4\text{ Н}\).

    После полного погружения груза. Объём груза \(V_{\text{г}} = \dfrac{m}{\rho_{\text{ал}}}\), сила Архимеда \(F_A = \rho_{\text{в}} g V_{\text{г}} = \rho_{\text{в}} g\dfrac{m}{\rho_{\text{ал}}} = 4\text{ Н}\). Условие равновесия груза даёт натяжение нити \(T = mg - F_A = 6{,}8\text{ Н}\).

    Смещение точки подвеса при неподвижной опоре: \(Mg\,d_{\text{р}} = T\,d'_{\text{г}}\), откуда \(d'_{\text{г}} = \dfrac{M d_{\text{р}}}{m - F_A/g} = \dfrac{2{,}16\cdot 0{,}12}{0{,}68} \approx 0{,}381\text{ м}\), а \(\Delta x = d'_{\text{г}} - d_{\text{г}} \approx 0{,}14\text{ м}\).

    Реакция опоры после погружения: \(N_1 = (M+m)g - F_A = 28{,}4\text{ Н}\), отношение \(\dfrac{N_1}{N_0} = 1 - \dfrac{F_A}{(M+m)g} \approx 0{,}877\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх