Задачи › Равномерное движение, средняя скорость

Оптимальный маршрут туриста

  1. Оптимальный маршрут туриста

    ВсОШ 2025/26, 9 кл.
    4/10

    Железнодорожные станции A, B, C и D связаны несколькими маршрутами. От станции A до станции B с промежуточной остановкой на станции C ходит поезд «Аист». Он отправляется от A с интервалами 2 ч, начиная с 5:30, а весь маршрут занимает у «Аиста» 280 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль». Интервалы его следования составляют 50 минут, первый «Журавль» отправляется в 5:50, а весь маршрут занимает у него 240 минут. Временем остановок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от скорости «Аистов».

    Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Беркут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты» отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут между C и D занимает у них 20 минут.

    В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стоимость проезда от одной до другой.

    РисунокРисунок

    Турист прибыл на станцию A в 9:20, ему нужно добраться до станции B. Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь.

    1. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в рублях, округлив до целого числа. (2 балла)

    2. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A \(\to\) D \(\to\) C \(\to\) B (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (2 балла)

    3. Найдите среднюю скорость по маршруту A \(\to\) D \(\to\) C \(\to\) B, считая всё время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла)

    4. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых маршрутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (3 балла)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Переводите время в минуты от полуночи. Для каждого участка с «Аистом» и «Журавлём» время в пути пропорционально длине участка, а моменты проходов станций — это расписание отправлений плюс время участка.

    Ответ

    6) \(340\text{ руб}\);  7) \(410\text{ мин}\);  8) \(80{,}5\text{ км/ч}\);  9) \(280\text{ мин}\).

    Решение

    Стоимость. Складываем цены четырёх маршрутов и берём минимум: ACB: \(140+210=350\); ADB: \(320+120=440\); ACDB: \(140+80+120=340\); ADCB: \(320+80+210=610\) руб. Минимум — \(340\) руб.

    Времена на участках. Скорость поезда на своём длинном маршруте постоянна, поэтому времена на отрезках пропорциональны длинам: \(t_{AD} = T_{ADB}\dfrac{AD}{AD+DB} = 240\cdot\dfrac{220}{410}\approx 128{,}8\) мин, \(t_{DB} = T_{ADB} - t_{AD}\); \(t_{AC} = T_{ACB}\dfrac{AC}{AC+CB} = 280\cdot\dfrac{180}{450} = 112\) мин, \(t_{CB} = 168\) мин.

    Ожидания. Если известен первый рейс \(T_{\text{start}}\) и период \(P\), рейсы идут в моменты \(T_{\text{start}}, T_{\text{start}}+P, \dots\); берём первый не раньше текущего момента. Турист приходит в A в 9:20, это \(560\) мин от полуночи. «Аист» отправляется из A в \(330, 450, 570, 690, \dots\) мин, «Журавль» — в \(350, 400, \dots, 600, \dots\) мин, «Беркут» из C и из D — в \(360 + 30k\) мин.

    Маршрут A \(\to\) D \(\to\) C \(\to\) B. «Журавль» из A в \(600\) мин (10:00) приходит в D в \(600 + 128{,}8 \approx 728{,}8\) мин. Ближайший «Беркут» из D — в \(750\) мин, в C он придёт в \(770\) мин. Проход C «Аистом»: отправление \(+112\) мин, первый не раньше \(770\) — это отправление \(690\) мин, проход C в \(802\) мин. Далее C \(\to\) B за \(168\) мин: прибытие в B в \(970\) мин (16:10). Полное время \(970 - 560 = 410\) мин. Длина маршрута \(S = AD+DC+CB = 220+60+270 = 550\) км.

    Средняя скорость: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{550}{410/60} \approx 80{,}5\) км/ч.

    Минимальное время из A в B. Считаем четыре варианта: ADB — ждём «Журавль» в 600 мин, прибываем в B в \(600 + 240 = 840\) мин: время \(280\) мин; ACB — ждём «Аист» в 570 мин, прибытие в \(570 + 280 = 850\) мин: время \(290\) мин; ACDB и ADCB — с пересадками на «Беркут» дают большие времена. Минимум — \(280\) мин.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх