Катер и плот

Скорость катера вниз по течению \(V_{\text{к}}+V_{\text{т}}\), вверх — \(V_{\text{к}}-V_{\text{т}}\). Плот движется со скоростью течения, поэтому его координата известна в любой момент времени.

Обозначения: ось \(x\) направлена от A к B, \(v_{\downarrow} = V_{\text{к}}+V_{\text{т}}\) (катер по течению), \(v_{\uparrow} = V_{\text{к}}-V_{\text{т}}\) (катер против течения). Плот: \(x_{\text{п}}(t) = V_{\text{т}}t\), время его прихода в B: \(t_B = S/V_{\text{т}} = 6\) ч.

Первая встреча (на подъёме): \(S - v_{\uparrow}\left(t - \dfrac{S}{v_{\downarrow}}\right) = V_{\text{т}}t\), откуда \(t_1 = \dfrac{2S}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}} = \dfrac{36}{24} = 1{,}5\) ч и \(d_1 = V_{\text{т}}t_1 = \dfrac{2SV_{\text{т}}}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}} = 4{,}5\) км.

Вторая встреча (на следующем спуске): \(t_2 = \dfrac{2S}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}} = 2\) ч, \(d_2 = V_{\text{т}}t_2 = \dfrac{2SV_{\text{т}}}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}} = 6{,}0\) км.

Общие формулы: \(t_{2m-1} = \dfrac{2mS}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}}\) (встречи на подъёмах), \(t_{2m} = \dfrac{2mS}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}}\) (на спусках).

Число встреч до прихода плота в B. Условие \(t\le t_B\) даёт \(m \le \dfrac{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}}{2V_{\text{т}}} = 4\) для подъёмов (моменты \(1{,}5;\ 3;\ 4{,}5;\ 6\) ч) и \(m \le \dfrac{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}}{2V_{\text{т}}} = 3\) для спусков (моменты \(2;\ 4;\ 6\) ч). Момент \(6\) ч совпадает для обеих серий и учитывается один раз: всего \(6\) встреч.

Максимальное расстояние. Между разворотами \(L(t)\) меняется линейно, поэтому максимум достигается в концах отрезков. Для первого разворота в B: \(L = S - V_{\text{т}}t_B^{(1)} = S\dfrac{V_{\text{к}}}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}} = 18\cdot\dfrac{21}{24} = 15{,}75 \approx 15{,}8\) км; для первого разворота в A: \(L = V_{\text{т}}\left(\dfrac{S}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}}+\dfrac{S}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}}\right) = 3\cdot 1{,}75 = 5{,}25\) км. Наибольшее из них — \(L_{\max} \approx 15{,}8\) км.

Графическое решение: на графике по оси \(t\) отложено время до \(t_B = S/V_{\text{т}}\), по оси \(x\) — координата. Ломаная описывает движение катера (развороты в A и B), прямая — движение плота; точки пересечения — встречи.