И так можно измерять

Исключите натяжение нити, рассмотрев составляющие кулоновских сил, перпендикулярные нити. Теорема синусов для треугольников с вершиной в заряде \(q\) и теорема косинусов связывают углы и расстояния.

Условие равновесия заряда на конце нити: сумма кулоновских сил со стороны \(Q_1\) и \(Q_2\) уравновешивается натяжением нити, направленным к точке \(O\). Исключим натяжение, рассмотрев составляющие кулоновских сил, поперечные нити. Из условия равновесия \[\frac{Q_1\sin\alpha_1}{R_1^2} = \frac{Q_2\sin\alpha_2}{R_2^2}, \qquad (1)\] где \(R_1\) и \(R_2\) — расстояния от конца нити до зарядов, а \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы, образуемые кулоновскими силами с нитью.

Поскольку \(R_1\sin\alpha_1 = L_1\sin\beta\) и \(R_2\sin\alpha_2 = L_2\sin\beta\), (2) из (1) и (2) получаем \(\dfrac{Q_1L_1}{R_1^3} = \dfrac{Q_2L_2}{R_2^3}\), то есть \[Q_1 = Q_2\,\frac{L_2}{L_1}\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3. \qquad (3)\] Из теоремы косинусов находим \(R_1^2 = R^2 + L_1^2 - 2RL_1\cos\beta\) и \(R_2^2 = R^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta\). (4) Откуда \[Q_1 = Q_2\,\frac{L_2}{L_1}\left(\frac{R^2 + L_1^2 - 2RL_1\cos\beta}{R^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta}\right)^{3/2}. \qquad (5)\]

При нити, отклонённой от прямой, соединяющей заряды \(Q_1\) и \(Q_2\), равновесие устойчиво, так как при изменении \(\beta\) возникает возвращающая сила. При \(\beta = 0\) и \(180^\circ\) равновесие будет при любом \(Q_1\), но оно не обязательно устойчиво. Минимальный измеримый заряд \(Q_{\min}\) достигается при \(\beta \to 0\), а максимальный \(Q_{\max}\) — при \(\beta \to 180^\circ\).

При \(L_1 = 2L_2\) и \(R = 3L_2\) получаем \(Q_{\min} = \dfrac{1}{128}Q_2\) и \(Q_{\max} = \dfrac{10^3}{128}Q_2 = \dfrac{125}{16}Q_2\).