Заземлённый шар в сфере с диэлектриком

В электрическом поле шара диэлектрик поляризуется. На его внутренней поверхности возникает заряд \(-Q\), на внешней — заряд \(Q\) (электронейтральность слоя). Напряжённость поля в точке \(A\) диэлектрика на расстоянии \(r\) от центра: \[E = \frac{k q}{\varepsilon r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.\] Заменим поляризационные заряды двумя сферами: внутренней радиуса \(R\) с зарядом \(-Q\) и внешней радиуса \(2R\) с зарядом \(Q\). Тогда \[E = \frac{k q}{r^2} - \frac{k Q}{r^2} = \frac{k(q - Q)}{r^2}.\] Приравнивая два выражения для \(E\), находим \[\frac{q}{\varepsilon} = q - Q \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{q(\varepsilon - 1)}{\varepsilon}.\] Потенциал шара: \[\varphi = \frac{k(q - Q)}{R} + \frac{k Q}{2R} + \frac{k q_0}{4R} = \frac{k\left(2q(\varepsilon + 1) + \varepsilon q_0\right)}{4\varepsilon R}.\] Так как шар заземлён, \(\varphi = 0\), откуда \[q = -\frac{\varepsilon q_0}{2(\varepsilon + 1)} = 1{,}7~\text{нКл}.\]