Шайбы на стержне и проволоке

Пусть \(m\) — масса шайб, \(\vec V_1\) и \(\vec V_2\) — скорости шайб в конечном положении. Разложим \(\vec V_2 = \vec u_1 + \vec u_2\) на две взаимно перпендикулярные составляющие: \(\vec u_1\) вдоль проволоки, \(\vec u_2\) перпендикулярно проволоке.

Проекция суммарного импульса на направление проволоки сохраняется (трения нет): \(V_0 = V_1 + u_1\).

Длина стержня не меняется, поэтому проекции скоростей шайб на направление стержня одинаковы: \(V_1 \cos\alpha = u_1 \cos\alpha - u_2 \sin\alpha\).

Закон сохранения энергии: \(V_0^2 = V_1^2 + u_1^2 + u_2^2\).

Исключая \(u_1 = V_0 - V_1\), получаем \(V_1 = \dfrac{1}{2}(V_0 - u_2 \operatorname{tg}\alpha)\) и \(2V_1^2 - 2V_0 V_1 + u_2^2 = 0\). Подставляя \(V_1\), находим \[u_2 = \frac{V_0}{\sqrt{\operatorname{tg}^2\alpha + 2}}, \qquad V_1 = \frac{V_0}{2}\left(1 - \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{\operatorname{tg}^2\alpha + 2}}\right).\] Искомое отношение \[x = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + 2\operatorname{ctg}^2\alpha}}\right).\] При \(\alpha = 30^{\circ}\): \(x = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{7}}\right) \approx 0{,}31\).