Белки и шишки

Обозначьте числа белок, одновременно бегущих вверх и вниз, и число шишек, летящих в данный момент. Все процессы периодичны, поэтому частоты подъёма белок, спуска и бросания шишек одинаковы. Выразите их через эти числа.

\(T=\dfrac{(T_1+T_2)M}{N}-T_1=\dfrac{T_1(M-N)+T_2M}{N}\).

Обозначим \(X>0\) — число белок, одновременно бегущих вверх по сосне, поднимая шишки; \(Y>0\) — число белок, одновременно бегущих вниз по сосне; \(Z>0\) — число шишек, одновременно летящих между вершиной сосны и землёй. Тогда \(N=X+Y\) и \(M=X+Z\), так как каждая из поднимающихся белок несёт одну шишку.

Каждая белка забегает на вершину через \(T_1/X\) после предыдущей, добегает до земли через \(T_2/Y\), а шишки долетают до земли через время \(T/Z\). Все повторяется циклически, поэтому частота бросания шишек (число брошенных шишек в единицу времени) равна частоте подхватывания падающих шишек, частоте подъёма белок на вершину и т.д.: $$\dfrac{T_1}{X}=\dfrac{T_2}{Y}=\dfrac{T}{Z}.$$ Из свойств дробей следует $$\dfrac{T_1}{X}=\dfrac{T_2}{Y}=\dfrac{T_1+T_2}{X+Y}=\dfrac{T_1+T}{X+Z}.$$ Преобразуя, получаем $$T_1X+T_1Z+T_2X+T_2Z=T_1X+T_1Y+TX+TY,$$ $$T_2(X+Z)+T_1(Z-Y)=T(X+Y).$$ Имея в виду, что \(Y-Z=N-M\), получаем $$T=\dfrac{T_1(M-N)+T_2M}{N}=\dfrac{(T_1+T_2)M}{N}-T_1.$$ Из ответа видно, что не при всяком наборе \(N\), \(M\), \(T_1\) и \(T_2\) описанная ситуация реализуема.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.