Поршень с полостью в жидкости

Сначала запишите равновесие поршня, пока пружины не деформированы и жидкость только начинает подниматься. Затем рассмотрите полностью погружённый поршень: сила Архимеда, пружины и объём жидкости, который нужно долить, чтобы поршень поднялся.

\(V=\dfrac{a^3}{2}+\dfrac{7\rho g a^5}{k}\).

Обозначим массу поршня \(M\), деформацию пружин в конечном состоянии \(X\), площадь сечения вертикального канала \(s\) (она считается очень малой).

Условие равновесия поршня, когда пружины не деформированы: $$Mg-(4a^2-s)\rho ga+(a^2-s)\rho g\dfrac{a}{2}=0.$$ Здесь учтено, что разница давлений в жидкости определяется разностью глубин. При заливании жидкости поршень сдвигается вверх. Пренебрегая вкладом ненулевого сечения каналов, т.е. считая \(a^2\gg s\), получаем $$Mg=\dfrac{7}{2}\rho ga^3.$$ Из этого уравнения также следует, что плотность материала поршня равна \(\rho/2\).

Когда поршень погружается полностью, равнодействующая сил давления жидкости на него становится равной $$(4a^2-s)\rho g\cdot 2a-(a^2-s)\rho ga\cdot\dfrac{3}{2}+(a^2-s)\rho g\dfrac{a}{2}=(7a^3-sa)\rho g.$$ Это равенство можно получить и формально, применяя закон Архимеда к погружённому телу с полостью: силы давления на вертикальные грани поршня были бы всё равно горизонтальны, если бы поршень был окружён жидкостью.

Новое условие равновесия поршня: $$Mg-(7a^3-sa)\rho g+2kX=0.$$ При условии \(a^2\gg s\) получаем $$X=\dfrac{-Mg+7\rho ga^3}{2k}=\dfrac{7\rho ga^3}{4k}.$$ Доливаемая жидкость заполняет оставшуюся половину полости (\(\dfrac{a^3}{2}\)) и освободившийся из-за смещения поршня объём под поршнем (\(4Xa^2\)). Искомый объём жидкости равен $$V=\dfrac{a^3}{2}+4Xa^2=\dfrac{a^3}{2}+\dfrac{7\rho ga^5}{k}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.