Встречи двух машин

Сумма путей, пройденных машинами между двумя соседними встречами, равна удвоенному расстоянию между городами. Что можно сказать о пути, который проходит каждая машина между встречами?

Очевидно, сумма расстояний, пройденных машинами от одной встречи до другой, равна удвоенному расстоянию между городами. Поэтому от одной встречи до следующей каждая машина проходит одинаковое расстояние. А поскольку машины начали движение из точки, лежащей на расстоянии \(2S/5\) от города А, а встретились на расстоянии \(S/5\) от В, то та машина, которая разворачивается в городе А, прошла от старта до первой встречи со второй машиной расстояние \(6S/5\). Между первой и второй встречей эта машина пройдёт такое же расстояние, поэтому вторая встреча машин произойдёт в точке старта. Третья встреча — в той же точке, что и первая. Таким образом, все нечётные встречи машин будут происходить в точке, лежащей на расстоянии \(S/5\) от города В (или \(4S/5\) от города А), а все чётные — в точке старта.

Поэтому 2022 встреча машин состоится в точке старта, 2023 — в той же точке, что и первая встреча, т.е. на расстоянии \(S/5\) от города В и на расстоянии \(4S/5\) от города А.

Поскольку от старта до первой встречи та машина, которая разворачивается в городе А, прошла расстояние \(2S/5 + 4S/5 = 6S/5\), то такое же расстояние она пройдёт от каждой встречи до следующей. Поэтому от старта до 2023 встречи эта машина пройдёт расстояние \[L = 2023\cdot\frac{6S}{5} = \frac{12138}{5}\,S = 2427{,}6\,S.\]