Тянем-потянем

Обозначьте расстояния от вершины до колечка и до втулки через \(x\) и \(y\) и запишите длину нити: \(x + \sqrt{x^2 + y^2} = l\). Ускорение втулки получится дифференцированием её скорости; натяжение нити тянет втулку с проекцией \(T\sin\alpha\), а колечко — с двух сторон.

За небольшое время \(\Delta t\) колечко пройдёт расстояние \(v\Delta t\), оставив позади себя кусочек нити длиной \(v\Delta t\). Такой же по длине кусочек нити должен освободиться из-за приближения втулки к колечку. Значит, \(u(0)\Delta t = v\Delta t\), и: \[u(0) = v.\]

Ответ на второй вопрос можно получить разными способами.

Способ 1. Перейдём в систему отсчёта, связанную с колечком. В этой СО колечко неподвижно, а у втулки появляется составляющая скорости, перпендикулярная стержню (см. рисунок). При этом относительно точки \(C\), выбранной вблизи колечка, втулка движется по окружности. Проекции скоростей втулки и точки \(C\) на направление участка нити между втулкой и кольцом должны компенсировать друг друга так, чтобы длина этого участка оставалась постоянной. Точка \(C\) движется со скоростью \(v\), поэтому: \[v = u\sin\alpha - v\cos\alpha.\]

Способ 2. Пусть расстояния от вершины прямого угла до колечка и до втулки равны соответственно \(x\) и \(y\). Тогда запишем полную длину нити следующим образом: \[x + \sqrt{x^2 + y^2} = l.\] Возьмём производную по времени: \[\dot x + \frac{x\dot x + y\dot y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \dot l = 0;\] \[\dot y = -\frac{\dot x}{y}\left(\sqrt{x^2 + y^2} + x\right);\] \[u = \frac{v}{y}\left(\sqrt{x^2 + y^2} + x\right).\] \[u = v\left(\frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\right) = v\,\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Способ 3. Рассмотрим маленький промежуток времени \(\Delta t\). Колечко прошло расстояние \(v\Delta t\), а втулка \(u\Delta t\). Проецируя эти перемещения на отрезок, соединяющий колечко с ниткой, получим маленькое изменение длины куска нити между ними: \[\Delta R = v\Delta t\cos\alpha - u\Delta t\sin\alpha.\] Кусок нити между вершиной прямого угла и колечком увеличился на \(v\Delta t\). Так как полная длина нити не меняется: \[(v\cos\alpha - u\sin\alpha + v)\Delta t = 0.\] Откуда: \[u = v\,\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Ответ на третий вопрос можно получить разными способами.

Способ 1. Скорость втулки при её движении по окружности относительно точки \(C\) равна: \[v\sin\alpha + u\cos\alpha = v\,\frac{\sin^2\alpha + \cos\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = v\,\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}.\] Нормальная компонента ускорения: \[a_n = \frac{v^2(1 + \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha\cdot R},\] где \(R = \dfrac{l}{1 + \cos\alpha}\) — длина участка нити между втулкой и точкой \(C\). Полное ускорение втулки \(a\) направлено вдоль стержня, а \(a_n\) является его проекцией на нить. Поэтому \[a = \frac{a_n}{\sin\alpha} = \frac{v^2(1 + \cos\alpha)^3}{\sin^3\alpha\cdot l}.\]

Способ 2. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте связью \(u\) и \(v\): \[u = \frac{v}{y}\left(\sqrt{x^2 + y^2} + x\right) = v\,\frac{l}{y}.\] Возьмём производную по времени от этого выражения: \[a = -vl\,\frac{\dot y}{y^2} = \frac{v^2 l^2}{y^3}.\] Так как нить нерастяжима: \[l = \frac{y}{\sin\alpha} + \frac{y}{\operatorname{tg}\alpha} \;\Rightarrow\; y = \frac{l\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}.\] Тогда: \[a = \frac{v^2(1 + \cos\alpha)^3}{\sin^3\alpha\cdot l}.\]

Далее \(ma = T\sin\alpha\), откуда \[T = m\,\frac{v^2(1 + \cos\alpha)^3}{\sin^4\alpha\cdot l}.\] Сила \(F\), прикладываемая к колечку, равна сумме проекций двух сил натяжения на стержень: \[F = T + T\cos\alpha = m\,\frac{v^2(1 + \cos\alpha)^4}{l\sin^4\alpha}.\]