Тело на наклонной плоскости с силой $F$

Рассмотрите два предельных случая: тело на грани соскальзывания вниз (сила трения направлена вверх по склону) и на грани движения вверх (трение направлено вниз по склону).

Рассмотрим два предельных случая.

1. Тело не скатывается вниз (рис. а): \(mg\sin\alpha - F\cos\alpha - F_{\text{тр}} = 0\), \(N - F\sin\alpha - mg\cos\alpha = 0\), \(F_{\text{тр}} \le \mu N\). Отсюда \[F \ge \frac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} = \frac{mg(\operatorname{tg}\alpha - \mu)}{1 + \mu\operatorname{tg}\alpha}.\] 2. Тело не движется вверх (рис. б): \(mg\sin\alpha - F\cos\alpha + F_{\text{тр}} = 0\), \(N - F\sin\alpha - mg\cos\alpha = 0\), \(F_{\text{тр}} \le \mu N\). Отсюда \[F \le \frac{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{\cos\alpha - \mu\sin\alpha} = \frac{mg(\operatorname{tg}\alpha + \mu)}{1 - \mu\operatorname{tg}\alpha}.\]

3. По условию \(\dfrac13 mg \le F \le 3mg\), поэтому \[\frac{\operatorname{tg}\alpha - \mu}{1 + \mu\operatorname{tg}\alpha} = \frac13, \qquad \frac{\operatorname{tg}\alpha + \mu}{1 - \mu\operatorname{tg}\alpha} = 3.\] Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1 + 3\mu}{3 - \mu}\) и \(2\mu^2 + 3\mu - 2 = 0\). Корни \(\mu = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\). Так как \(\mu > 0\), то \(\mu = 0{,}5\), \(\operatorname{tg}\alpha = 1\), \(\alpha = 45^\circ\).

4. Если сила \(F\) перестанет действовать, ускорение тела \[a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}\,g \approx 3{,}5~\text{м/с}^2 \quad (g = 10~\text{м/с}^2).\]